ciało liczb zespolonych
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Stały bywalec
- Posty: 256
- Rejestracja: 12 lis 2010, 19:48
- Podziękowania: 241 razy
- Płeć:
ciało liczb zespolonych
oblicz
a) \(\sqrt{-2+3i}\)
b) \(\sqrt[3]{i}\)
c)\(\sqrt[6]{-27}\)
d) \(\sqrt[4]{2-i\sqrt{12}}\)
e) \(\sqrt[6]{\frac{\sqrt{3}-i}{i-1}}\)
prosze o jakieś dokładne wytłumaczenie jak to sie robi
Z góry dzieki za pomoc
a) \(\sqrt{-2+3i}\)
b) \(\sqrt[3]{i}\)
c)\(\sqrt[6]{-27}\)
d) \(\sqrt[4]{2-i\sqrt{12}}\)
e) \(\sqrt[6]{\frac{\sqrt{3}-i}{i-1}}\)
prosze o jakieś dokładne wytłumaczenie jak to sie robi
Z góry dzieki za pomoc
- ewelawwy
- Fachowiec
- Posty: 2057
- Rejestracja: 16 kwie 2010, 15:32
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 910 razy
- Płeć:
http://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_zes ... Moivre.27a
a)
\(z=-2+3i\\
|z|=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\\
\phi = \arctan(-\frac 32 ) +\pi =-56,31^o+180^o=123,69^o\\
z=\sqrt{13}(\cos 123,69^o+i\sin 123,69^o)\)
zatem pierwiastki z \(z\) to będą:
\(z_0=\sqrt{\sqrt{13}}(\cos \frac{123,69}{2}^o+i\sin \frac{123,69}{2}^o)=\sqrt[4]{13}(\cos 61,845^o+i\sin 61,845^o)\approx \sqrt[4]{13}(0,47+0,88i)\\
z_1=\sqrt{\sqrt{13}}(\cos \frac{123,69^o+360^o}{2}+i\sin \frac{123,69^o+360^o}{2})=\sqrt[4]{13}(\cos 241,845^o+i\sin 241,845^o)\approx\\
\approx \sqrt[4]{13}(-0,47-0,88i)\approx -\sqrt[4]{13}(0,47+0,88i)=-z_0\)
a)
\(z=-2+3i\\
|z|=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\\
\phi = \arctan(-\frac 32 ) +\pi =-56,31^o+180^o=123,69^o\\
z=\sqrt{13}(\cos 123,69^o+i\sin 123,69^o)\)
zatem pierwiastki z \(z\) to będą:
\(z_0=\sqrt{\sqrt{13}}(\cos \frac{123,69}{2}^o+i\sin \frac{123,69}{2}^o)=\sqrt[4]{13}(\cos 61,845^o+i\sin 61,845^o)\approx \sqrt[4]{13}(0,47+0,88i)\\
z_1=\sqrt{\sqrt{13}}(\cos \frac{123,69^o+360^o}{2}+i\sin \frac{123,69^o+360^o}{2})=\sqrt[4]{13}(\cos 241,845^o+i\sin 241,845^o)\approx\\
\approx \sqrt[4]{13}(-0,47-0,88i)\approx -\sqrt[4]{13}(0,47+0,88i)=-z_0\)
- ewelawwy
- Fachowiec
- Posty: 2057
- Rejestracja: 16 kwie 2010, 15:32
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 910 razy
- Płeć:
b)
\(z=i\\
|z|=\sqrt{0+1}=1\\
\phi = \frac {\pi}2\\
z=\cos \frac{\pi}2+i\sin \frac{\pi}2\\
z_0=1(\cos \frac{\frac{\pi}{2}}3+i\sin \frac{\frac{\pi}{2}}3),\; z_1=1(\cos \frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}3+i\sin \frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}3),\; z_2=1(\cos \frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}3+i\sin \frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}3)\\
z_0=\cos \frac{\pi}6 +i\sin \frac{\pi}6 , \; z_1=\cos \frac{5\pi}6 + i\sin \frac{5\pi}6,\; z_2=\cos \frac{9\pi}2 + i\sin \frac{9\pi}2\\
z_0=\frac{\sqrt{3}}2+\frac{1}2 i, \; z_1=-\frac{\sqrt{3}}2+\frac{1}2 i,\;z_2=-i\)
\(z=i\\
|z|=\sqrt{0+1}=1\\
\phi = \frac {\pi}2\\
z=\cos \frac{\pi}2+i\sin \frac{\pi}2\\
z_0=1(\cos \frac{\frac{\pi}{2}}3+i\sin \frac{\frac{\pi}{2}}3),\; z_1=1(\cos \frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}3+i\sin \frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}3),\; z_2=1(\cos \frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}3+i\sin \frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}3)\\
z_0=\cos \frac{\pi}6 +i\sin \frac{\pi}6 , \; z_1=\cos \frac{5\pi}6 + i\sin \frac{5\pi}6,\; z_2=\cos \frac{9\pi}2 + i\sin \frac{9\pi}2\\
z_0=\frac{\sqrt{3}}2+\frac{1}2 i, \; z_1=-\frac{\sqrt{3}}2+\frac{1}2 i,\;z_2=-i\)
-
- Stały bywalec
- Posty: 256
- Rejestracja: 12 lis 2010, 19:48
- Podziękowania: 241 razy
- Płeć:
-
- Stały bywalec
- Posty: 256
- Rejestracja: 12 lis 2010, 19:48
- Podziękowania: 241 razy
- Płeć:
- ewelawwy
- Fachowiec
- Posty: 2057
- Rejestracja: 16 kwie 2010, 15:32
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 910 razy
- Płeć:
c)
\(z=-27\\
|z|=\sqrt{27^2}=27\\
\phi = \arctan (0) +\pi =0^o+180^o=180^o\\
z=27(\cos \pi +i\sin \pi)\\\)
pierwiastki:
\(z_0=\sqrt[6]{27}(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6})=\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac 12 i)=\frac 32 + \frac {\sqrt{3}}2 i=\frac 12(3+\sqrt{3}i)\\
z_1=\sqrt[6]{27}(\cos \frac{\pi + 2\pi }{6}+i\sin {\pi + 2pi }6)=\sqrt{3}(\cos \frac{\pi}2+i\sin \frac{\pi}2)=\sqrt{3}(0+i)=\sqrt{3}i\\
z_2=\sqrt{3}(\cos \frac{\pi + 4\pi}{6}+i\sin \frac{\pi + 4\pi}{6})=\sqrt{3}(\cos \frac{5\pi}6+i\sin \frac{5\pi}6)=\sqrt{3}(-\frac {\sqrt{3}}2+i\frac {1}2)=\\
=-\frac 32 +\frac {\sqrt{3}}2i= -\frac 12 (3-\sqrt{3}i)\\
z_3=\sqrt{3}(\cos \frac{\pi + 6\pi}{6}+i\sin \frac{\pi + 6\pi}{6})=\sqrt{3}(\cos \frac{7\pi}{6}+i\sin \frac{7\pi}{6})=\sqrt{3}(-\frac{\sqrt{3}}2-\frac{1}2 i)=-\frac{3}{2}-\frac {\sqrt{3}}2 i=-\frac 12(3+\sqrt{3}i)\\
z_4=\sqrt{3}(\cos \frac{9\pi}{6}+i\sin \frac{9\pi}{6})=\sqrt{3}(\cos \frac {3\pi}2+i\sin \frac{3\pi}2)=\sqrt{3}(0-i)=-\sqrt{3}i\\
z_5=\sqrt{3}(\cos \frac{11\pi}{6}+i\sin \frac{11\pi}{6})=\sqrt{3}(\frac {\sqrt{3}}2 -\frac 12 i)=\frac 32-\frac{\sqrt{3}}2 i=\frac 12(3-\sqrt{3}i)\)
\(z=-27\\
|z|=\sqrt{27^2}=27\\
\phi = \arctan (0) +\pi =0^o+180^o=180^o\\
z=27(\cos \pi +i\sin \pi)\\\)
pierwiastki:
\(z_0=\sqrt[6]{27}(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6})=\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac 12 i)=\frac 32 + \frac {\sqrt{3}}2 i=\frac 12(3+\sqrt{3}i)\\
z_1=\sqrt[6]{27}(\cos \frac{\pi + 2\pi }{6}+i\sin {\pi + 2pi }6)=\sqrt{3}(\cos \frac{\pi}2+i\sin \frac{\pi}2)=\sqrt{3}(0+i)=\sqrt{3}i\\
z_2=\sqrt{3}(\cos \frac{\pi + 4\pi}{6}+i\sin \frac{\pi + 4\pi}{6})=\sqrt{3}(\cos \frac{5\pi}6+i\sin \frac{5\pi}6)=\sqrt{3}(-\frac {\sqrt{3}}2+i\frac {1}2)=\\
=-\frac 32 +\frac {\sqrt{3}}2i= -\frac 12 (3-\sqrt{3}i)\\
z_3=\sqrt{3}(\cos \frac{\pi + 6\pi}{6}+i\sin \frac{\pi + 6\pi}{6})=\sqrt{3}(\cos \frac{7\pi}{6}+i\sin \frac{7\pi}{6})=\sqrt{3}(-\frac{\sqrt{3}}2-\frac{1}2 i)=-\frac{3}{2}-\frac {\sqrt{3}}2 i=-\frac 12(3+\sqrt{3}i)\\
z_4=\sqrt{3}(\cos \frac{9\pi}{6}+i\sin \frac{9\pi}{6})=\sqrt{3}(\cos \frac {3\pi}2+i\sin \frac{3\pi}2)=\sqrt{3}(0-i)=-\sqrt{3}i\\
z_5=\sqrt{3}(\cos \frac{11\pi}{6}+i\sin \frac{11\pi}{6})=\sqrt{3}(\frac {\sqrt{3}}2 -\frac 12 i)=\frac 32-\frac{\sqrt{3}}2 i=\frac 12(3-\sqrt{3}i)\)
-
- Stały bywalec
- Posty: 256
- Rejestracja: 12 lis 2010, 19:48
- Podziękowania: 241 razy
- Płeć:
- ewelawwy
- Fachowiec
- Posty: 2057
- Rejestracja: 16 kwie 2010, 15:32
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 910 razy
- Płeć:
http://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_zes ... ometryczna <-- tu jest pokazane jak uzyskać postać trygonometryczna (również jak wyliczyć argz czyli kąt fi)
- ewelawwy
- Fachowiec
- Posty: 2057
- Rejestracja: 16 kwie 2010, 15:32
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 910 razy
- Płeć:
to też jest ze wzoru de Moivre'a dla liczb wymiernychanetaaneta1 pisze:a odnośnie tego c) to dlaczego tam podstawiasz raz 2pi lub 4pi lub 6pi ??? od czego to zależy ???
zależy to od tego, który pierwiastek liczymy
we wzorze jest +2kpi, więc jak liczysz z0 to za k podstawiasz 0 i nic nie dodajesz, jak z1 to k=1 czyli +2pi, dla z2 jest +4pi itd.
-
- Stały bywalec
- Posty: 256
- Rejestracja: 12 lis 2010, 19:48
- Podziękowania: 241 razy
- Płeć:
-
- Stały bywalec
- Posty: 256
- Rejestracja: 12 lis 2010, 19:48
- Podziękowania: 241 razy
- Płeć:
-
- Stały bywalec
- Posty: 256
- Rejestracja: 12 lis 2010, 19:48
- Podziękowania: 241 razy
- Płeć:
-
- Stały bywalec
- Posty: 256
- Rejestracja: 12 lis 2010, 19:48
- Podziękowania: 241 razy
- Płeć: