ciało liczb zespolonych

[anetaaneta1]

oblicz
a) \(\sqrt{-2+3i}\)

b) \(\sqrt[3]{i}\)

c)\(\sqrt[6]{-27}\)

d) \(\sqrt[4]{2-i\sqrt{12}}\)

e) \(\sqrt[6]{\frac{\sqrt{3}-i}{i-1}}\)

prosze o jakieś dokładne wytłumaczenie jak to sie robi
Z góry dzieki za pomoc

[ewelawwy]

http://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_zes ... Moivre.27a
a)
\(z=-2+3i\\
|z|=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\\
\phi = \arctan(-\frac 32 ) +\pi =-56,31^o+180^o=123,69^o\\
z=\sqrt{13}(\cos 123,69^o+i\sin 123,69^o)\)
zatem pierwiastki z \(z\) to będą:
\(z_0=\sqrt{\sqrt{13}}(\cos \frac{123,69}{2}^o+i\sin \frac{123,69}{2}^o)=\sqrt[4]{13}(\cos 61,845^o+i\sin 61,845^o)\approx \sqrt[4]{13}(0,47+0,88i)\\
z_1=\sqrt{\sqrt{13}}(\cos \frac{123,69^o+360^o}{2}+i\sin \frac{123,69^o+360^o}{2})=\sqrt[4]{13}(\cos 241,845^o+i\sin 241,845^o)\approx\\
\approx \sqrt[4]{13}(-0,47-0,88i)\approx -\sqrt[4]{13}(0,47+0,88i)=-z_0\)

[ewelawwy]

b)
\(z=i\\
|z|=\sqrt{0+1}=1\\
\phi = \frac {\pi}2\\
z=\cos \frac{\pi}2+i\sin \frac{\pi}2\\
z_0=1(\cos \frac{\frac{\pi}{2}}3+i\sin \frac{\frac{\pi}{2}}3),\; z_1=1(\cos \frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}3+i\sin \frac{\frac{\pi}{2}+2\pi}3),\; z_2=1(\cos \frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}3+i\sin \frac{\frac{\pi}{2}+4\pi}3)\\
z_0=\cos \frac{\pi}6 +i\sin \frac{\pi}6 , \; z_1=\cos \frac{5\pi}6 + i\sin \frac{5\pi}6,\; z_2=\cos \frac{9\pi}2 + i\sin \frac{9\pi}2\\
z_0=\frac{\sqrt{3}}2+\frac{1}2 i, \; z_1=-\frac{\sqrt{3}}2+\frac{1}2 i,\;z_2=-i\)

[anetaaneta1]

kurcze bo ja ma jakieś inne odpowiedzi może zeskanuje te odpowiedzi i wrzuce

[anetaaneta1]

to jeat zadanie 135 tylko ja nie napisałam w takiej samej kolejnośći
a=d
b=a
c=c
d=e
e=b

[ewelawwy]

c)
\(z=-27\\
|z|=\sqrt{27^2}=27\\
\phi = \arctan (0) +\pi =0^o+180^o=180^o\\
z=27(\cos \pi +i\sin \pi)\\\)
pierwiastki:
\(z_0=\sqrt[6]{27}(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6})=\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac 12 i)=\frac 32 + \frac {\sqrt{3}}2 i=\frac 12(3+\sqrt{3}i)\\
z_1=\sqrt[6]{27}(\cos \frac{\pi + 2\pi }{6}+i\sin {\pi + 2pi }6)=\sqrt{3}(\cos \frac{\pi}2+i\sin \frac{\pi}2)=\sqrt{3}(0+i)=\sqrt{3}i\\
z_2=\sqrt{3}(\cos \frac{\pi + 4\pi}{6}+i\sin \frac{\pi + 4\pi}{6})=\sqrt{3}(\cos \frac{5\pi}6+i\sin \frac{5\pi}6)=\sqrt{3}(-\frac {\sqrt{3}}2+i\frac {1}2)=\\
=-\frac 32 +\frac {\sqrt{3}}2i= -\frac 12 (3-\sqrt{3}i)\\
z_3=\sqrt{3}(\cos \frac{\pi + 6\pi}{6}+i\sin \frac{\pi + 6\pi}{6})=\sqrt{3}(\cos \frac{7\pi}{6}+i\sin \frac{7\pi}{6})=\sqrt{3}(-\frac{\sqrt{3}}2-\frac{1}2 i)=-\frac{3}{2}-\frac {\sqrt{3}}2 i=-\frac 12(3+\sqrt{3}i)\\
z_4=\sqrt{3}(\cos \frac{9\pi}{6}+i\sin \frac{9\pi}{6})=\sqrt{3}(\cos \frac {3\pi}2+i\sin \frac{3\pi}2)=\sqrt{3}(0-i)=-\sqrt{3}i\\
z_5=\sqrt{3}(\cos \frac{11\pi}{6}+i\sin \frac{11\pi}{6})=\sqrt{3}(\frac {\sqrt{3}}2 -\frac 12 i)=\frac 32-\frac{\sqrt{3}}2 i=\frac 12(3-\sqrt{3}i)\)

[anetaaneta1]

a mam pytanko jak wyliczyłaś to 180 stopni z czego skorzystałaś ????

[ewelawwy]

http://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_zes ... ometryczna <-- tu jest pokazane jak uzyskać postać trygonometryczna (również jak wyliczyć argz czyli kąt fi)

[ewelawwy]

a odnośnie tego c) to dlaczego tam podstawiasz raz 2pi lub 4pi lub 6pi ??? od czego to zależy ???

to też jest ze wzoru de Moivre'a dla liczb wymiernych
zależy to od tego, który pierwiastek liczymy
we wzorze jest +2kpi, więc jak liczysz z0 to za k podstawiasz 0 i nic nie dodajesz, jak z1 to k=1 czyli +2pi, dla z2 jest +4pi itd.

[ewelawwy]

b poprawiłam (nie zauważyłam na początku, że to pierwiastek 3stopnia)
juz jest dobrze i się zgadza z odp.

[anetaaneta1]

a to już rozumiem mniej więcej jak te resztę przykładów zrobić tylko mam jedno pytanie do tego e jak mam się pozbyć tego ułamka ?????

wielkie dzięki:)

a mam prośbe co z resztą zadań tam dodałam jeszcze kilka zadań to jakby znalazła czas to byłabym wdzięczna

[anetaaneta1]

a skąd wiesz ile jest tych pierwiastków ??? i co podstawiasz do tego wzoru za n ???

[ewelawwy]

n-stopień pierwiastka
\(\sqrt[n]{z}\)
i pierwiastków będzie właśnie n: \(z_0,z_1,z_2,...,z_{n-1}\)
czyli jak w d) masz obliczyć pierwiastek 4stopnia to n=4, w e) 6go stopnia, to n=6


wzór wygląda tak:
\(z_k=\sqrt[n]{|z|}(\cos \frac {\phi + 2k\pi}{n}+i\sin \frac {\phi + 2k\pi}{n}),\; k=0,1,...,n-1\)

[anetaaneta1]

aha wielkie dzieki a co z pozostałymi zadaniami dasz rade zrobić ????
Bardzo proszę..

[anetaaneta1]

a mam jeszcze pytanko odnośnie tego b) skąd ci sie tam wzieło ze z2=-i ???