1.Wykazać, że jeśli funkcja \(f\) : \(R\)\(\longrightarrow\) \(R_{+}\) jest rosnąca, a funkcja \(g\): \(R\)\(\longrightarrow\) \(R_{+}\) jest malejąca , to funkcja \(h\) określona wzorem jest \(h(x)\)= \(\frac{f(x)}{g(x)}\) rosnąca.
2. Wykazać, że jeśli \(f\) jest funkcją malejącą, to jest funkcją różnowartościową.
3.Sprawdzić, czy funkcje \(f\) i \(g\) są równe
(a) \(f(x)\)= \(\frac{x-1}{x-1}\) \(\\)\(\\)\(\\)\(\\)\(\\)\(\\)\(\\)\(\\)\(\\)\(\\) \(g(x)\)=1
(b)\(f(x)\)= \(\sqrt{x^4}\) \(\\)\(\\)\(\\)\(\\)\(\\)\(\\)\(\\)\(\\)\(\\)\(\\) \(g(x)\)=\(x^{2}\)
(c)\(f(x)\)= \(\sqrt{x}\)\(\cdot\) \(\sqrt{x-1}\)\(\\)\(\\)\(\\) \(g(x)\)=\(\sqrt{x(x-1)}\)
Funkcje
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
1.
\(a,\ b\in\ R\\f(a),\ f(b),\ g(a),\ g(b)\ >0\)
Niech
\(a<b\ \Rightarrow \ f(a)<f(b)\\a<b\ \Rightarrow \ g(a)>g(b)\ \Rightarrow g(b)-g(a)<0\)
\(h(a)-h(b)=\frac{f(a)}{g(a)}-\frac{f(b)}{g(b)}=\frac{f(a)\cdot\ g(b)-f(b)\cdot\ g(a)}{g(a)\cdot\ g(b)}<\frac{f(b)\cdot\ g(b)-f(b)\cdot\ g(a)}{g(a)\cdot\ g(b)}=\frac{f(b)\cdot[g(b)-g(a)]}{g(a)\cdot\ g(b)}<0\\a<b\ \Rightarrow \ h(a)-h(b)<0\ \Rightarrow \ h(a)<h(b)\)
Funkcja h(x) jest rosnąca.
\(a,\ b\in\ R\\f(a),\ f(b),\ g(a),\ g(b)\ >0\)
Niech
\(a<b\ \Rightarrow \ f(a)<f(b)\\a<b\ \Rightarrow \ g(a)>g(b)\ \Rightarrow g(b)-g(a)<0\)
\(h(a)-h(b)=\frac{f(a)}{g(a)}-\frac{f(b)}{g(b)}=\frac{f(a)\cdot\ g(b)-f(b)\cdot\ g(a)}{g(a)\cdot\ g(b)}<\frac{f(b)\cdot\ g(b)-f(b)\cdot\ g(a)}{g(a)\cdot\ g(b)}=\frac{f(b)\cdot[g(b)-g(a)]}{g(a)\cdot\ g(b)}<0\\a<b\ \Rightarrow \ h(a)-h(b)<0\ \Rightarrow \ h(a)<h(b)\)
Funkcja h(x) jest rosnąca.