Dowód z nierównością

[janwojcikowski]

Proszę o pomoc.

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb \(a\) i \(b\) takich, że \(a^2+b^2=4\), prawdziwa jest nierówność: \(a+b\le2\sqrt2\).

[konieczynka87]

skorzystaj z zależności miedzy średnią kwadratową, a średnią arytmetyczną dla a i b

[janwojcikowski]

Nie potrafię skorzystać z tej zależności. Czy mógłbym kogoś prosić o rozpisanie?

[Jerry]

Dla dodatnich liczb \(a\) i \(b\), jak pisała konieczynka87, zachodzi porządek:
\[K(a,b)=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\ge\frac{a+b}{2}=A(a,b)\\ \text{i równość zachodzi dla }a=b.\]
Wobec
\[a^2+b^2=4\]
mamy
\[\sqrt{\frac{4}{2}}\ge\frac{a+b}{2}\\
\sqrt2\ge\frac{a+b}{2}\qquad|\cdot2\\
2\sqrt2\ge a+b\\ \text{CKD}\]
Pozdrawiam