Dowód nierówności

[Jerry]

8.3p. Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\) prawdziwa jest nierówność: \(x^4 – 2x^2 – 4x + 6 > 0.\)

\[w(x)=x^4\color{blue}{ – 2x^2} – 4x \color{green}{+ 6}=x^4\color{blue}{ – 4x^2} \color{green}{+4}\color{blue}{ +2x^2}- 4x \color{green}{+ 2}=(x^2-2)^2+2(x-1)^2\ge0\\
\text{ i równość zachodzi dla }\begin{cases}x^2-2=0\\x-1=0\end{cases},\\
\text{czyli nie zachodzi. CKD}\]
Pozdrawiam

[anka]

Nie rozumiem. Przecież rozwiązaniem tego układu będzie zbiór pusty.

[Jerry]

Wykazałem prawdziwość nierówności słabej, a miałem ostrej - musiałem wykazać dodatkowo, że równość nie zachodzi! Stąd zbiór pusty.

Pozdrawiam

[janusz55]

Nierówność \( x^4 -2x^2 -4x +6 = ...=(x^2-2)^2 + 2(x-1)^2 >0 \) jako suma dwóch kwadratów jest spełniona dla każdej wartości \( x\in \rr.\) To mieliśmy wykazać.

Według mnie nie ma sensu rozpatrywanie układu równań (który nigdy jednocześnie nie jest spełniony) w celu wykazania, że nie zachodzi równość \( x^4 -2x^2 -4x +6 = ... =(x^2-2)^2 + 2(x-1)^2 = 0. \)

Mamy sumę dwóch składników kwadratowych, a nie iloczyn.

[Jerry]

Czyli, wg Ciebie:

Nierówność \((x^2-1)^2 + 2(x-1)^2 >0 \) jako suma dwóch kwadratów jest spełniona dla każdej wartości \( x\in \rr\).

Wg mnie, dla \(x=1\) zachodzi równość

Miłego wieczoru

[janusz55]

Nierówność jest w postaci \( (x^2 -2)^2 + 2(x-1)^2 >0 \) i zachodzi dla \( x = -\sqrt{2} \) lub \( x = \sqrt{2} \) lub \( x = 1.\)

Sprowadzenie jej do sumy dwóch kwadratów kończy rozwiązanie zadania.

[Jerry]

Nierówność jest w postaci \( (x^2 -2)^2 + 2(x-1)^2 >0 \) i zachodzi dla \( x = -\sqrt{2} \) lub \( x = \sqrt{2} \) lub \( x = 1.\)

Sprowadzenie jej do sumy dwóch kwadratów kończy rozwiązanie zadania.

Nie! Patrz kontrprzykład z mojego poprzedniego postu.

Miłego dnia
PS. Wątek zamykam