wymiar

[Filip25]

W zależności od parametru p określ wymiar podprzestrzeni generowanej przez
\( \left[2,p,2 \right] , \left[ p,1,-p\right], \left[p,3,-p \right] \)

[janusz55]

\( \det \begin{bmatrix} 2 & p & 2 \\ p &1 & -p \\ p & 3 & -p \end{bmatrix} = \det \begin{bmatrix} 2 & p & 2 \\ p & 1 & -p \\ 0 & -2 & 0 \end{bmatrix} = 2\det \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ p & -p \end{bmatrix} = -8p. \)

Dla \( p \neq 0 \) wymiar podpprzesrzeni generowanej przez układ trzech wektorów wynosi \( 3.\)

Dla \( p = 0 \)

\( \det\begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \end{bmatrix} = \det \begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 &1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \)

wymiar podprzestrzeni generowanej przez układ trzech wektorów wynosi \( 2.\)

[Filip25]

\(\begin{bmatrix} 2 & p & 2 \\ p & 1 & -p \\ 0 & -2 & 0 \end{bmatrix} \) skad -2 w trzecim wierszu?

[Filip25]

i to sa liczone wyznaczniki?

[janusz55]

Z odjęcia wiersza trzeciego od drugiego. To są liczone wyznaczniki.

[Filip25]

to nie powinno byc 2?

[janusz55]

Jeśli odejmujemy wiersz trzeci od wiersza drugiego to \( p-p = 0, 1-3 = -2, \ \ -p + p = 0. \)

[Filip25]

\(\begin{bmatrix} 2 & p & 2 \\ p & 1 & -p \\ p & 3 & -p \end{bmatrix} \)

wiersz drugi to p,1,-p
wiersz trzeci to p,3,-p
zatem odejmując wiersz trzeci od drugiego to
p-p=0
3-1=2
-p-(-p)=0

Albo jestem za głupi na to
bo mnie uczono,że wiersze są licząc od góry
pierwszy to 2,p,2
wiersz drugi to p,1,-p
wiersz trzeci to p,3,-p

czy ja to zle zrozumiałem??

[janusz55]

Wiersz trzeci odejmujemy od wiersza drugiego.

W zapisie przekształceń elementarnych \( w_{2} - w_{3} \)

\( \begin{bmatrix} p & 1 & -p \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} p & 3 & -p \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p-p & 1-3 & -p-(-p) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -2 & -p + p \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -2 & 0 \end{bmatrix}.\)

Można też wykonać przekształcenie odwrotne.

Od wiersza trzeciego odejmujemy wiersz drugi \( w_{3} - w_{2}. \) Wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie.

Wykonujemy takie przekształcenia elementarne na wierszach czy kolumnach wyznaczników, aby uzyskać jak najwięcej zer w wierszu lub kolumnie. Wtedy obliczenie wyznacznika rozwinięciem Laplace'a jest prostsze.

Albo stosując przekształcenia elementarne - sprowadzamy wyznacznik do postaci schodkowej lub do zredukowanej postaci schodkowej.

Wartość wyznacznika w zredukowanej postaci schodkowej, to wartość iloczynu elementów na głównej przekątnej (diagonali).

[Filip25]

Zatem skoro to wyznaczniki to nie mogę od razu liczyc :
\( \begin{vmatrix}2& p&2 \\ 2&1&-p\\p&3&-p \end{vmatrix}=p^3+2p^2+2p+12\)??

[janusz55]

Można, ale otrzymujemy wielomian, dla którego trzeba znaleźć miejsce zerowe.

[Filip25]

dlaczego mój wyznacznik rózni się od twojego?

[janusz55]

Różni się metodą obliczenia. W tym przypadku mamy wyznacznik \( 3\times 3 \) i można stosować metodę Sarrusa.

[Filip25]

ok wiec ja otrzymalem \(-p^3+2p^2+2p+12\), szukam miejsc zerowych i co dalej?

[janusz55]

I nic dalej , jeśli poprawnie obliczyłeś ten wyznacznik metodą Sarrusa.