Niewymierne pierwiastki wielomianu?

[xaweer]

Jak znaleźć przybliżoną wartość pierwiastka niewymiernego funkcji:
\(W(x)=x^3−6x^2+12x−26\)


Odp. Około 4,6.
Poprosiłbym o jakiś sposób (najlepiej) na poziomie licealnym Kiedyś robiłem takie przykłady metodą w której zawężałem przedziały, ale kompletnie nie mogę sobie jej przypomnieć, a przekopanie sieci również nie dało rezultatów

[Jerry]

Ponieważ

1. Ponieważ \(w'(x)=(x^3−6x^2+12x−26)'=3x^2+12x+12=3(x-2)^2\ge0\), to \(w\nearrow\rr\) i \(y=w(x)\) ma jeden pierwiastek.
2. \(\begin{array}{c|c|c|c|c|}x & 0 & 2 & 4 & 5\\\hline w(x)&-26& - 18 & -10 & 9\end{array}\)

to pozostaje Ci szukać w przedziale \((4;5)\) np. metogą siecznych

Pozdrawiam

PS.

\(x_0\approx 4,62074\)

[Icanseepeace]

\( W(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 26 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 - 18 = (x-2)^3 - 18 \\
W(x)= 0 \So x = 2 + \sqrt[3]{18} \)

[janusz55]

Metoda "Reguła Falsi"

Krok 1
Wybieramy dwa przybliżone wartości \( x_{0}, \ \ x_{1} \) takie, że \( w(x_{0})\cdot w(x_{1}) <0 \)

Krok 2
Obliczamy \( x_{2} = \frac{x_{0}w(x_{1}) -x_{1}\cdot w(x_{0})}{w(x_{1}) - w(x_{0})} \)

Krok 3
Jeśli \( w(x_{2}) >0 \) stosujemy podstawienie \( x_{2} := x_{1}. \)

Jeśli \( w(x_{2})<0 \) stosujemy podstawienie \( x_{2}:=x_{0}. \)

Krok 4
Obliczamy przybliżoną wartość pierwiastka według wzoru rekurencyjnego \( x_{i+1} = \frac{x_{i-1}\cdot w(x_{i}) - x_{i}\cdot w(x_{i-1})}{w(x_{i})-w(x_{i-1})} \)

Krok 5
Iteracje przerywamy, gdy \( |x_{i}-x_{i-1}|< \varepsilon \)

Znajdziemy przybliżone miejsce zerowe wielomianu transcedentalnego

\( w(x) = x^3 -6x^2 +12x -26. \)

\( x_{0} = 3, \ \ x_{1} = 5 \)

\( w(3) = 3^3 -6\cdot 3^2 +12\cdot 3 -26 = -17.\)

\( w(5) = 5^3 -6\cdot 5^2 +12\cdot 5 -26 = 9.\)

\( -17\cdot 9 = -153<0 \)

Iteracja 1

\( x_{2} = \frac{3\cdot 9 -5\cdot (-17)}{9 - (-17)} = \frac{27+85}{26} = \frac{112}{26} = 4,3077.\)

\( w(4,3077) = 4,3077^3 - 6\cdot 4,3077^2 +12\cdot 4,3077 -26 = -5,7104.\)

Iteracja 2

\( x_{0} = 4,3077, \ \ x_{1} = 5 \)

\( x_{2} = \frac{4,3077\cdot 9 -5\cdot (-5,7104)}{9 - (-5,7104)} = 4,5754.\)

\( w(4,5764) = 4.5764^3 - 6*4.5764^2 +12*4.5764-26 = -0. 8983 \)

Iteracja 3

\( x_{0} = 4,5764, \ \ x_{1} = 5. \)

\( x_{2} = \frac{4,5764 \cdot 9 - 5\cdot (-08993)}{9 - (-0.8983)} = 4,6149.\)

\( w(4,6149) = 4,6149^3 -6\cdot 4,6149^2 +12\cdot 4,6149 - 26 = -0,1201 \)

Iteracja 4

\( x_{0} = 4,6149,\ \ x_{1} = 5. \)

\( x_{2} = \frac{4,6149 \cdot 9 - 5\cdot(-0,1201)}{9 - (-0,1201)} = 4,6200.\)

Na tym kończymy iteracje z dokładnością przybliżenia:

\( |4,6200 - 4,6149| = 5,1\cdot 10^{-3} \)

PS.
Program w Octave, dotyczący tej metody można znaleźć na forum matematyka.pl

[janusz55]

OCTAVE

Kod: Zaznacz cały

function falsi(f,a,b,tol,n)
  a0=a;
  b0=b;
  iter=0;
  u=feval(f,a);
  v=feval(f,b);
  c=(v*a-u*b)/(v-u);
  w=feval(f,c);
  disp('_______________________________________________________________')
  disp(' iter      a            b            c        f(c)       |b-a| ')
  disp('_______________________________________________________________')
  fprintf('\n')
  if (u*v<=0)
    while (abs(w)>tol)&(abs(b-a)>tol)&(iter<=n)&((v-u)~=0)
      w =feval(f,c);
      fprintf('%2.0f %12.4f %12.4f %12.6f %10.6f %10.6f\n',iter,a,
      b,c,w,abs(b-a))
      if(w*u<0)
      b=c;
      v=w;
    end;
    if (w*u>0)
      a=c;
      u=w;
      end;
    iter = iter+1;
    c=(v*a-u*b)/(v-u);
  end;
  if (iter>n)
    disp('Metoda nie jest zbieżna')
  end;
  if (v-u==0)
  disp('Dzielenie pzez zero')
end;
else
  disp('Metoda nie moze byc stosowana f(a)f(b)>0')
end;
end;

function f=f1(x)
  f=x.^3-6*x.^2+12*x -26;
  endfunction

URUCHOMIENIE PROGRAMU

Kod: Zaznacz cały

                                                                                                                             
>> falsi('f1',3,5,10^(-4), 20)

WYNIKI

Kod: Zaznacz cały

_______________________________________________________________
 iter      a            b            c        f(c)       |b-a|
_______________________________________________________________

Metoda nie moze byc stosowana f(a)f(b)>0
>> falsi('f1',3,5,10^-4, 20)
_______________________________________________________________
 iter      a            b            c        f(c)       |b-a|
_______________________________________________________________

 0       3.0000       5.0000     4.307692  -5.710514   2.000000
 1       4.3077       5.0000     4.576441  -0.897458   0.692308
 2       4.5764       5.0000     4.614848  -0.121168   0.423559
 3       4.6148       5.0000     4.619964  -0.016012   0.385152
 4       4.6200       5.0000     4.620639  -0.002110   0.380036
 5       4.6206       5.0000     4.620728  -0.000278   0.379361
 6       4.6207       5.0000     4.620740  -0.000037   0.379272

[Tulio]

Metoda "Reguła Falsi"
[...]
Znajdziemy przybliżone miejsce zerowe wielomianu transcedentalnego

Co to jest wielomian transcedentalny?

[janusz55]

To jest taki wielomian, który ma tyko pierwiastki przybliżone.

[Tulio]

To jest taki wielomian, który ma tyko pierwiastki przybliżone.

1. Możesz podać źródło takiej informacji? Google nie zna: Google nie zna
2. Również angielska wersja (transcendentalnej funkcji) wygląda, że znaczy coś innego
3. Przecież ten wielomian ma dokładnie jeden, nieprzybliżony, a dokładny pierwiastek \(x=2+ \sqrt[3]{18} \), co podano już wcześniej/wyżej więc nawet Twoja definicja tu nie pasuje.

[janusz55]

\( 2 + \sqrt{18} \approx 6,2426 \) nie jest pierwiastkiem przybliżonym tego wielomianu.

Transcendentalna funkcja to funkcja analityczna, która nie spełnia równania wielomianowego. Transcendentalny wielomian to wielomian, który nie ma pierwiastków dokładnych tylko przybliżone.

Nie pamiętam źródła. Postaram się znaleźć źródło tej definicji.

[Tulio]

Napisałeś, że wielomian transcendentalny "To jest taki wielomian, który ma tyko pierwiastki przybliżone." i podałem Ci właśnie, że on takim nie jest bo właśnie ma tylko jeden dokładny (co potwierdziłeś).

Nie odpowiedziałeś na pozostałe punkty. Podaj źródło Twojej definicji.

[janusz55]

Nie pamiętam w tej chwili. Postaram się znaleźć żródło tej definicji.

\( 2 + \sqrt{18} \approx 6,2426 \) nie jest pierwiastkiem dokładnym tego wielomianu.

Kod: Zaznacz cały

>> 2+sqrt(18)
>>ans = 6.2426

[Tulio]

Transcendentalny wielomian to wielomian, który nie ma pierwiastków dokładnych tylko przybliżone.

Czyli omawiany takim nie jest bo ma dokładny \(x= 2+ \sqrt[3]{18} \), prawda?

[Tulio]

\( 2 + \sqrt{18} \approx 6,2426 \) nie jest pierwiastkiem dokładnym tego wielomianu.

Nie twierdziłem, że jest. Czytaj dokładnie.
\(2 + \sqrt[3]{18} \), a nie \(2+ \sqrt{18} \)

[janusz55]

O wielomianie transcendentalnym mówimy wtedy, gdy ma pierwiastki przybliżone.

Innymi słowy, gdy jego wartość przybliżoną \( 2 + \sqrt[3]{18}\approx 4,6207 \) obliczamy na przykład metodami numerycznymi.

O funkcji transcendentalnej mówimy wówczas, gdy ma przybliżone miejsca zerowe i jej miejsca zerowe znajdujemy na przykład metodami numerycznymi.

[janusz55]

Żródło np.

A.K. Vasishta, Rejesh Dangwal. NUMERICAL ANALYSIS. Krishnas House Edition 2018.