Pomoc granica ciągu

[EQUALIZED]

Witam,

mam w zadaniu z granic na studiach ciąg 1 - 2 + 3 - 4 + ... -2n, a suma tego wychodzi -n wg notatek. Czy ktoś mógłby wyjaśnić skąd taki wynik?

tak wygląda całe zadanie, gdzie wynik ostateczny to -1.

[EQUALIZED]

https://imgur.com/a/zT9l7DI tutaj link do obrazka

[Jerry]

\[\underbrace{1-2+3-4+\ldots+(n-1)-2n}\limits_{2n\text{ składników}}=\underbrace{(1-2)+(3-4)+\ldots+(2n-1-2n)}\limits_{n\text{ nawiasów}}=\ldots\]
Pozdrawiam

[janusz55]

Z własności arytmetycznych granic ciągów liczbowych zbieżnych i sumy ciągów arytmetycznych

\( \Lim_{n\to \infty} \frac{1-2+3-4+ ...-2n}{\sqrt{n^2+1}} = \lim_{n\to \infty}\frac{(1+3 + ...+(2n-1)) - (2+4 +...+2n)}{\sqrt{n^2+1}}= \Lim_{n\to \infty} \frac{\frac{1+2n-1}{2}\cdot n - \frac{2 + 2n}{2}\cdot n}{\sqrt{n^2+1}} =\Lim_{n\to \infty} \frac{n^2-n -n^2}{\sqrt{n^2+1}} = \Lim_{n\to\infty} \frac{-n}{n\sqrt{1 +\frac{1}{n^2}}} = \)
\( = \Lim_{n\to \infty} (-1)\cdot \Lim_{n\to \infty}\frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1}{n^2}}} = -1 \cdot 1 =-1.\)