wielomiany

[Filip25]

Wykaż, że suma szescianów dwóch kolejnych liczb naturalnych, której przy dzieleniu przez 3 dają resztę 2, przy dzieleniu przez 9 daje resztę 7.

[Jerry]

Kolejnymi liczbami naturalnymi, spełniającymi warunki zadania, mogą być \(3k-1\) i \(3k+2\), gdzie \(k\in\zz_+\). Wtedy
\[n=(3k-1)^3+(3k+2)^3=(27k^3-27k^2+9k-1)+(27k^3+54k^2+36k+8) =\\
54k^3+27k^2+45k+7=9(\color{blue}{6k^3+3k^2+9k})+7\]
Ponieważ w nawiasie jest liczba całkowita, to teza zadania jest prawdziwa.

Pozdrawiam