Zadania na dowodzenie - Wykaż, że suma kwadratów

[Sobolmat]

Czy w tym zadaniu muszę założyć, że n i k to liczby naturalne, czy mogę założyć, że są to liczby całkowite?

Wykaż, że suma kwadratów czterech kolejnych liczb parzystych jest podzielna przez 8.
Założenie: cztery kolejne liczby parzyste: \(2n, 2n+2, 2n+4, 2n+6\) gdzie \( n \in ?\)
Teza:\((2n)^2+(2n+2)^2+(2n+4)^2+(2n+6)^2=8k\) gdzie \(k \in ? \)
Dowód:
\((2n)^2+(2n+2)^2+(2n+4)^2+(2n+6)^2=\)
\(=4n^2+4n^2+8n+4+4n^2+16n+16+4n^2+24n+36=\)
\(=16n^2+48n+56=8(2n^2+6n+7)=8k\)

Podobne pytanie mam do zadania:
Wykaż, że liczba \(6^{n+2} - 2 \cdot 6^{n+1} + 7^n+2 - 7^n\) jest podzielna przez 24.
Czy tutaj n i k będą liczbami naturalnymi czy też całkowitymi?

[Tulio]

W pierwszym: można dla całkowitych. Jest dobrze. Tutaj mowa o liczbach.
Z drugim masz coś nie tak. (\(7^n-7^n=0\)), ale ze względu na to, że dla \(n=-3\) będziesz miał ułamek \(\frac{1}{6}\) na początku, który (prawdopodobnie, po poprawce) Ci się nie skróci / nie uzupełni do liczby całkowitej. To \(n\in \nn_{0} \) (całkowite nieujemne / naturalne z zerem). Natomiast wynik tej sumy może wyjść ujemny i Twoje \(k\) może być już całkowite, nie ma problemu.

[Sobolmat]

Dziękuję, W tym drugim będzie: \(6^{n+2}−2⋅6^{n+1}+7^{n+2}−7n\), z tego wyjdzie \(24(6^n+2 \cdot 7^n)=24k\)

[Sobolmat]

\(6^{n+2}−2⋅6^{n+1}+7^{n+2}−7^n\), z tego wyjdzie \(24(6^n+2 \cdot 7^n)=24k\)

[Tulio]

\(6^{n+2}−2⋅6^{n+1}+7^{n+2}−7^n\), z tego wyjdzie \(24(6^n+2 \cdot 7^n)=24k\)

Wtedy dla \(n=-1\) nie jest to prawda więc jak pisałem \(n\in\nn_{0}\) i \(k\) również jest dodatnie.