Równanie zespolone + interpretacje geometryczna

[kamil199694]

W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie \(z^3=(1-i)^3\), a następnie podaj interpretację geometryczną zbioru \(\{z\in\mathbb{C}: 0<|z-z_1\cdot z_2\cdot z_3|<1\}\), gdzie \(z_1, z_2, z_3\) są pierwiastkami powyższego równania.

\(1-i=\sqrt{2}\left(\cos{\frac{7\pi}{4}}+i\sin{\frac{7\pi}{4}}\right)\)
\((1-i)^3=\left(\sqrt{2}\right)^3\left(\cos{\frac{21\pi}{4}}+i\sin{\frac{21\pi}{4}}\right)=\left(\sqrt{2}\right)^3\left(\cos{\frac{5\pi}{4}}+i\sin{\frac{5\pi}{4}}\right)\)
\(\sqrt[3]{\left(1-i\right)^3}=\left\{\begin{array}{lll}
\sqrt{2}\left(\cos{\frac{5\pi}{12}}+i\sin{\frac{5\pi}{12}}\right) \\
\sqrt{2}\left(\cos{\frac{13\pi}{12}}+i\sin{\frac{13\pi}{12}}\right) \\
\sqrt{2}\left(\cos{\frac{21\pi}{12}}+i\sin{\frac{21\pi}{12}}\right)
\end{array} \right.\)

Czy powyższe rozwiązanie równania jest prawidłowe czy mam gdzieś błąd? Jak zapisać te rozwiązania w postaci algebraicznej, żeby móc rozwiązać drugą część zadania (interpretacja geometryczna zbioru)?

[Tulio]

Aby sprawdzić poprawność:
1. Jednym z rozwiązań powinno być oczywiście \(1-i\) (Twoje trzecie takim jest, możesz skrócić przez \(3\))
2. Rozwiązania na układzie współrzędnych powinny zbudować trójkąt równoboczny.

Liczby typu \(\sin{\frac{5\pi}{12}}\) są ogólnie znane jako posiadające postać nietrygonometryczną, klik.

Druga część zadania, bez względu na \(z_1, z_2, z_3\) to pewien pierścień/koło.