równanie kwadratowe

[attec18]

Dane jest równanie \(x^2-2(m^2+m+1)x+m^4+m^2+1=0\)
a) wyznacz m dla którego równanie ma dwa rozwiązania \(x_1,x_2\)
b) wyznacz minimalną wartość wyrażenia \(A=(x_1+x_2)(1+\frac{1}{x_1x_2})\)
c) wyznacz m dla których \(P=\frac{(x_1+x_2)^2}{4x_1x_2} \in \mathbb{N}^+\)

[Tulio]

a) \(\Delta>0\)
\( \left( −2(m^2+m+1)\right)^2 -4 \left( m^4+m^2+1\right) >0\)
\( 8m^3+8m^2+8m>0 \)
\( m^3+m^2+m>0 \)
\( m \left( m^2+m+1\right) >0 \)
Czynnik w nawiasie jest zawsze dodatni, zatem potrzeba i wystarczy aby: \(m>0\)

b) Ze wzorów Viete'a: \(x_1+x_2 = \frac{-b}{a}, x_1x_2 = \frac{c}{a}\)
\(A=2 \left( m^2+m+1\right) \left( 1+\frac{1}{m^4+m^2+1}\right) \)
\(A=2 \left( m^2+m+1\right) \left( \frac{m^4+m^2+1}{m^4+m^2+1}+\frac{1}{m^4+m^2+1}\right) \)
\(A=2 \left( m^2+m+1\right) \left( \frac{m^4+m^2+2}{m^4+m^2+1}\right) \)
\(A=2 \left( \frac{\left( m^2+m+1\right) \left( m^4+m^2+2\right) }{m^4+m^2+1}\right) \)
Uprośćmy trochę wyrażenie: \(\frac{m^2+m+1}{m^4+m^2+1}\)
Zacznijmy od: \(\frac{m^4+m^2+1}{m^2+m+1} = \frac{ \left( m^2+m+1\right) \left( m^2-m+1\right) }{m^2+m+1} = m^2-m+1\)
Zatem: \(\frac{m^2+m+1}{m^4+m^2+1} = \frac{1}{m^2-m+1}\)
Stąd:
\(A=\frac{2 \left( m^4+m^2+2\right) }{m^2-m+1} = \frac{2 m^4+2m^2+4 }{m^2-m+1}\)
\(A' = \ldots = \frac{4m^5-6m^4+8m^3-2m^2-4m+4}{ \left( m^2-m+1\right)^2 } = 0\)
Dół nie równa się zero, zatem licznik:
\(4m^5-6m^4+8m^3-2m^2-4m+4 = 0\)
Jak dobrze policzyłem, to minimum jest w punkcie... trudnym do obliczenia i wynosi jeszcze bardziej skomplikowanie.

Edit: Można jednak zauważyć, że \(4m^5-6m^4+8m^3-2m^2-4m+4>0\) dla \(m>0\) (zostawiam, ale nie jest to trudne), a więc wartość \(A\) jest ściśle rosnąca. Stąd najmniejsza wartość jest przy \(m \to 0^+\), czyli \( \Lim_{m\to 0^+} A = A \left( 0^+\right) =4^+\)

[Tulio]

c)
\( P \left( m\right) = \frac{\left( 2 \left( m^2+m+1\right)^2 \right)}{4 \left( m^4+m^2+1\right)} = \frac{ \left( m^2+m+1\right)\left( m^2+m+1\right) }{m^4+m^2+1} = \frac{m^2+m+1}{m^2-m+1} = \frac{2m}{m^2-m+1}+1\)
Łatwo zauważyć, ze \(m=0, m=1\) są rozwiązaniami. Pokażemy, że jedynymi (nieprawda, patrz edit, ale obliczenia poprawne, zostawiam).
\(P'\left( m\right) = \frac{-2m^2+2}{ \left( m^2-m+1\right)^2 }=0\)
\(m=-1, m=1\)
Dla \(m=-1\) mamy minimum równe \(\frac{1}{3}\)
Dla \(m=1\) mamy maksimum równe \(3\)
\( \Lim_{m\to \pm \infty } \frac{2m}{m^2-m+1}+1 = 1\)
Z tych danych z łatwością rysujemy wykres (oczywiście nie jest konieczny):
wykres
Widać, że nie ma innych rozwiązań [w liczbach całkowitych]. Wykreślając ręcznie należałoby pokazać, że
\(\frac{2m}{m^2-m+1}+1 \neq 2\)

Edit: wyspałem się i przestałem w podpunkcie \(c)\) uważać, że gdzieś było napisane jakoby \(m\) było całkowite. Z tego faktu zarówno z obliczonych ekstremów, jak i wykresu, jasno widać, że rozwiązaniami są \(P=1\) dla \(m=0\), \(P=2\) dla \(\frac{2m}{m^2-m+1}+1 = 2\) (zwykłe równanie kwadratowe, wychodzi \(m=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\)) oraz \(P=3\) dla \(m=1.\) Pamiętajmy, że \(m>0\).