Przedstaw wartość wyrażenia

[anilewe_MM]

\(\sin {\frac{\pi}{9}}\sin {\frac{2\pi}{9}} \sin {\frac{3\pi}{9}} \sin {\frac{4\pi}{9}}\)
w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

Z cosinusami bym umiała

[Tulio]

Skorzystamy ze wzorów:
\( \begin{cases} \cos \left( \alpha+\beta\right) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta \\ \cos \left( \alpha-\beta\right) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta \end{cases}\)
Po odjęciu mamy:
\( \cos \left( \alpha-\beta\right) - \cos \left( \alpha+\beta\right) = 2\sin\alpha\sin\beta\)
U nas:
\(\sin{\frac{\pi}{9}}\sin{\frac{2\pi}{9}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sin{\frac{2\pi}{9}} \sin{\frac{\pi}{9}} = \frac{1}{2} \left[ \cos \left( \frac{2\pi}{9} - \frac{\pi}{9} \right) - \cos \left( \frac{2\pi}{9} + \frac{\pi}{9} \right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \cos\frac{\pi}{9} - \cos\frac{3\pi}{9}\right] \)
(możliwe, żę da się wybrać lepszą parę/pary - próbowałem to mi gorzej wychodziło)
Stąd:
\(\sin\frac{\pi}{9}\sin\frac{2\pi}{9}\sin\frac{3\pi}{9}\sin\frac{4\pi}{9} = \frac{1}{2} \left[ \cos\frac{\pi}{9} - \cos\frac{3\pi}{9}\right]\cdot \sin\frac{3\pi}{9}\sin\frac{4\pi}{9} = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \cos\frac{\pi}{9} - \frac{1}{2}\right) \cdot \sin\frac{4\pi}{9} = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \cos\frac{\pi}{9}\sin\frac{4\pi}{9} - \frac{1}{2}\cdot \sin\frac{4\pi}{9} \right)\)

Teraz zajmijmy się wyrażeniem:
\(\cos\frac{\pi}{9} \cdot \sin\frac{4\pi}{9}\)
Ponownie skorzystamy z analogicznej grupy wzorów:
\( \begin{cases} \sin\left( \alpha+\beta\right) = \sin\alpha \cos\beta + \sin\beta \cos\alpha \\ \sin \left( \alpha-\beta\right) = \sin\alpha \cos\beta - \sin\beta \cos\alpha \end{cases}\)
mamy:
\( \sin\left( \alpha+\beta\right) + \sin \left( \alpha-\beta\right) = 2\sin\alpha\cos\beta\)
u nas:
\(\cos\frac{\pi}{9} \cdot \sin\frac{4\pi}{9} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sin\frac{4\pi}{9}\cdot\cos\frac{\pi}{9} = \frac{1}{2}\sin\frac{5\pi}{9}+\frac{1}{2}\sin\frac{3\pi}{9}\)

wstawiamy:
\(\sin\frac{\pi}{9}\sin\frac{2\pi}{9}\sin\frac{3\pi}{9}\sin\frac{4\pi}{9} = \ldots = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \cos\frac{\pi}{9}\sin\frac{4\pi}{9} - \frac{1}{2}\cdot \sin\frac{4\pi}{9} \right) = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{1}{2}\sin\frac{5\pi}{9} + \frac{1}{2}\sin\frac{3\pi}{9} - \frac{1}{2}\cdot \sin\frac{4\pi}{9} \right) = \frac{\sqrt{3}}{8} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin\frac{5\pi}{9} - \sin\frac{4\pi}{9}\right) \)

Wobec faktu, że \(\sin\frac{5\pi}{9}=\sin{ \left( \pi - \frac{4\pi}{9} \right) } = \sin\frac{4\pi}{9}\) mamy ostateczną odpowiedź: \(\frac{3}{16}\).

PS. Dla analogicznego wyrażenia z cosinusami otrzymujemy \(\frac{1}{16}\) - może da się z jednego wyniku otrzymać drugi? Nie sprawdzałem.

[Jerry]

Albo:
Ze ściągawki maturalnej:

\[\cos\alpha\cos\beta=\frac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}{2}\]

Dla ułatwienia zapisu i zgodnie z sugestią:
\[\sin 20^\circ\cdot\sin 40^\circ \cdot\sin 60^\circ\cdot \sin 80^\circ=(\cos70^\circ\cdot\cos50^\circ)\cdot\cos30^\circ\cdot\cos10^\circ=
\frac{\cos120^\circ+\cos20^\circ}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot\cos10^\circ=\\=\frac{\sqrt3}{4}\cdot\left(-\frac{1}{2}+\cos20^\circ\right)\cdot\cos10^\circ=
\frac{\sqrt3}{4}\cdot\left(-\frac{1}{2}\cos10^\circ+\cos20^\circ\cos10^\circ\right)=\\=\frac{\sqrt3}{4}\cdot\left(-\frac{1}{2}\cos10^\circ+\frac{\cos30^\circ+\cos10^\circ}{2}\right)=\frac{\sqrt3}{8}\cos30^\circ=\frac{3}{16}\]
Pozdrawiam

[janusz55]

\( w= \sin \left(\frac{\pi}{9}\right)\cdot \sin\left(\frac{2\pi}{9}\right)\cdot \sin\left(\frac{3\pi}{9}\right) \cdot \sin\left(\frac{4\pi}{9}\right).\)

Wyrażamy sinusa \( \frac{3\pi}{9} \) przez kosinusa \(\frac{\pi}{9}. \)

\( \sin\left(\frac{3\pi}{9}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{9}+ \frac{2\pi}{9}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{9}\right)\cdot \cos\left(\frac{2\pi}{9}\right)+\sin\left(\frac{2\pi}{9}\right)\cdot \cos\left(\frac{\pi}{9}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{9}\right)\left[2\cos^2\left(\frac{\pi}{9}\right)-1\right] +2\sin\left(\frac{\pi}{9}\right)\cos\left(\frac{\pi}{9}\right)\cos\left(\frac{\pi}{9}\right)=\)

\( = \sin\left(\frac{\pi}{9}\right)\left[ 2\cos^2\left(\frac{\pi}{9}\right)-1 +2\cos^2\left(\frac{\pi}{9}\right)\right] = \sin\left(\frac{\pi}{9}\right) \left[ 4\cos^2\left(\frac{\pi}{9}\right) -1 \right].\)

Przekształcamy wyrażenie \( w \) do kąta \( \frac{\pi}{9}.\)

\( w= \sin \left(\frac{\pi}{9}\right)\cdot \sin\left(\frac{2\pi}{9}\right)\cdot \sin\left(\frac{3\pi}{9}\right) \cdot \sin\left(\frac{4\pi}{9}\right)= \sin \left(\frac{\pi}{9}\right)\cdot \left(\sin \left(\frac{3\pi}{9}\right) -\frac{\pi}{9}\right) \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{9}\right)\cdot \left(\sin\left(\frac{3\pi}{9}\right) +\frac{\pi}{9}\right)= \)

\( =\sin\left(\frac{\pi}{9}\right)\left [\sin\left(\frac{3\pi}{9}\right)\cos\left(\frac{\pi}{9}\right) -\cos(\left(\frac{3\pi}{9}\right)\sin(\left(\frac{\pi}{9}\right) \right] \sin(\left(\frac{3\pi}{9}\right) \left[\sin\left(\frac{3\pi}{9}\right) \cos\left(\frac{\pi}{9}\right) +\cos \left(\frac{3\pi}{9}\right) \sin(\left(\frac{\pi}{9}\right) \right] = \)
\(= \sin\left(\frac{\pi}{9}\right)\sin\left(\frac{3\pi}{9}\right)\left[ \sin^2\left(\frac{3\pi}{9}\right) -\cos^2(\left(\frac{3\pi}{9}\right)\sin^2(\left(\frac{\pi}{9}\right)\right] =\sin\left(\frac{\pi}{9}\right)\sin\left(\frac{3\pi}{9}\right)\left[ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\cos^2\left(\frac{\pi}{9}\right) -\left(\frac{1}{2}\right)^2\sin^2\left(\frac{\pi}{9}\right)\right] = \)

\( = \sin\left(\frac{\pi}{9}\right)\sin\left(\frac{3\pi}{9}\right)\left[\frac{3}{4}\cos^2\left(\frac{\pi}{9}\right) - \frac{1}{4}\sin^2\left(\frac{\pi}{9}\right)\right] =\sin\left(\frac{\pi}{9}\right)\sin\left(\frac{3\pi}{9}\right) \left[\frac{3}{4}\cos^2\left(\frac{\pi}{9}\right)-\frac{1}{4}\left(1-\cos^2 \left(\frac{\pi}{9}\right) \right) \right] = \sin\left(\frac{\pi}{9}\right)\sin\left(\frac{3\pi}{9}\right) \cdot \frac{1}{4}\left(4\cos^2\left(\frac{\pi}{9}\right) - 1\right) = \)
\(=\sin\left(\frac{3\pi}{9} \right)\cdot \frac{1}{4}\sin(\left(\frac{3\pi}{9}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{9}\right) \frac{\left[4\cos^2\left(\frac{\pi}{9}\right)-1\right]\sin\left(\frac{\pi}{9}\right)}{4} = \frac{1}{4}\sin(\left(\frac{3\pi}{9}\right)\cdot \sin\left(\frac{3\pi}{9}\right)= \frac{1}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{16}.\)

[anilewe_MM]

@Jerry: nie o to mi chodziło, ale złośliwość wybaczam, bo rozwiązanie bardzo czytelne.