Równanie trygonometryczne

[anilewe_MM]

\(\sin^23x = 4\sin^22x * \cos^2x – \sin^2x\)

[Jerry]

Hint:
\(4\sin^22x \cdot \cos^2x=(2\sin2x\cos x)^2=(\sin3x+\sin x)^2=\ldots\)
i się poredukuje do przyjaznej postaci...

Pozdrawiam

[janusz55]

\(\sin^2(3x) = 4\sin^2(2x)\cdot \cos^2(x)– \sin^2(x) \ \ (r) \)

Sprowadzamy równanie do jednej funkcji na przykład sinus pojedynczego argumentu.

\( \sin(3x)= \sin(x+2x) = \sin(x)\cos(2x)+\cos(x)\sin(2x)= \sin(x)[ 1-2\sin^2(x)] +\cos(x)\cdot 2\sin(x)\cos(x) = \)
\( = \sin(x)-2\sin^3(x)+ 2\sin(x) \cos^2(x) = \sin(x) -2\sin^3(x)+ 2\sin(x)[1-\sin^2(x)] = \sin(x)-2\sin^3(x)+2\sin(x)-2\sin^3(x) =\)
\( = 3\sin(x)-4\sin^3(x) = \sin(x)\cdot [3-4\sin^2(x)]. \)

Stąd

\( \sin^2(3x) = \sin^2(x)\cdot [3-4\sin^2(x)]^2 = \sin^2(x)[9 - 24\sin^2(x)+16\sin^4(x)] = 9\sin^2(x)-24\sin^4(x)+16\sin^6(x) \ \ (*)\)

Drugi składnik równania \( (r) \)

\( 4\sin^2(2x)\cdot \cos^2(x) = 4\cdot [2\sin(x)\cos(x)]^2\cdot \cos^2(x) = 4\cdot [4\sin^2(x)\cos^2(x)\cdot \cos^2(x) = 16\sin^2(x)[1-\sin^2(x)]^2 = \)

\( = 16\sin^2(x)[ 1 -2\sin^2(x) +\sin^4(x)] = 16\sin^2(x) - 32\sin^4(x) + 16\sin^6(x) \ \ (**)\)

Podstawiamy \( (*), \ \ (**) \) do równania \( (r)\)

\( 9\sin^2(x)-24\sin^4(x)+ 16\sin^6(x) = 16\sin^2(x)-32\sin^4(x)+ 16\sin^6(x) -\sin^2(x)\)

\( 6\sin^2(x) -8\sin^4(x) = 0 \)

\( 2\sin^2(x) [3 -4\sin^2(x)] = 0 \)

\( \sin(x) = \ \ ... \vee \ \ \sin(x) = \ \ ... \vee \ \ \sin(x) = \ \ ... \)

\( x = \ \ ... \vee \ \ x = \ \ ... \ \ \vee \ \ x = \ \ ... \)

[anilewe_MM]

Na jedno zadanie na maturze jest około 15 minut, nie ma czasu na taką dłubaninę Wskazówka @Jerry jest super

[janusz55]

Przekształcenie Jerrye'go

\([ 4\sin^2(2x) \cdot \cos^2x=(2\sin2x\cos x)^2=(\sin3x+\sin x)^2] \neq [ \sin^2(3x) = 4\sin^2(2x)\cdot \cos^2(x)– \sin^2(x)] \)

Lewa strona nie jest równoważna prawej.


[...]

[Jerry]

A to już wymaga komentarza:

W rozwiązaniu równania trygonometrycznego prowadzimy najszybciej, jak to możliwe, do alternatywy równań trygonometrycznych elementarnych.

Po przeczytaniu ze zrozumieniem mojego poprzedniego postu można zauważyć, że równanie
\[\sin^23x = 4\sin^22x \cdot \cos^2x – \sin^2x\]
jest równoważne
\[\sin^23x = (\sin3x+\sin x)^2– \sin^2x\\
\sin^23x = \sin^23x+2\sin3x\sin x+\sin^2 x– \sin^2x\\
2\sin3x\sin x=0\\
\sin3x=0\vee\sin x=0\\
\left(x=k\cdot{\pi\over3}\vee x=k\cdot\pi\right)\wedge k\in\zz\\
x=k\cdot{\pi\over3}\wedge k\in\zz\]
Miłego dnia
PS.
anilewe_MM: Nie czytaj hejtu!!! Z każdą wizytą na naszym portalu jesteś coraz lepiej przygotowana do matury! Nie musisz mieć z arkuszy setek, wystarczy, że będziesz miała lepsze wyniki od innych abiturientów - czego Ci życzymy!

[kacper218]

Przekształcenie Jerrye'go

\([ 4\sin^2(2x) \cdot \cos^2x=(2\sin2x\cos x)^2=(\sin3x+\sin x)^2] \neq [ \sin^2(3x) = 4\sin^2(2x)\cdot \cos^2(x)– \sin^2(x)] \)

Lewa strona nie jest równoważna prawej.


Jeśli w ciągu 15-20 minut nie jest w pani w stanie rozwiązać poprawnie tak proste zadanie tzn. nie jest pani przygotowana do pisania matury.

Nie usunę posta, bo jest elementem dyskusji.
Proszę powstrzymywać się od niestosownych komentarzy na temat użytkowników i osób pomagających.

Post użytkownika Jerry, był prawidłowy.

[supergolonka]

Proszę powstrzymywać się od niestosownych komentarzy na temat użytkowników i osób pomagających.

Dokładnie. Akcja - reakcja, jak zawsze.

[anilewe_MM]

@Jerry: Dziękuję! A liczę się ze zdaniem tylko tych, których szanuję!

[janusz55]

To skrótowe przekształcenie pochłonęło dwa rozwiązania

\( x_{1} = -\frac{\pi}{3} + 2k \pi, \ \ k\in \zz, \)

\( x_{2} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \ \ k\in \zz.\)

które też spełniają to równanie.

Równanie powinno mieć 4 rozwiązania.

\( x_{3} = \frac{2}{3}k \pi ,\ \ x_{4} = k \pi, \ \ k \in \zz.\)


Trzeba być ostrożnym w skrótowym rozwiązywaniu równań nie tylko trygonometrycznych.

[Jerry]

Miałem już nie komentować, ale... w celach edukacyjnych:

Równanie powinno mieć 4 rozwiązania.

Równanie ma przeliczalnie nieskończenie wiele rozwiązań. I wymieniłem je wszystkie.
Można zamiast np.:
\[x={\pi\over4}+k\cdot{\pi\over2}\wedge k\in\zz\]
napisać np.:
\[\left(x={\pi\over4}+k\cdot2\pi\vee x={3\pi\over4}+k\cdot2\pi\vee x={5\pi\over4}+k\cdot2\pi\vee x={7\pi\over4}+k\cdot2\pi\right)\wedge k\in\zz\]
bo to to samo... ale wg mnie "brzydko". Tak jak w odpowiedzi zamiast \({1\over2}\) nie piszemy \({3\over6}\)

...w skrótowym rozwiązywaniu ...

Wg mnie "krótkim"

Trzeba być ostrożnym w [...] rozwiązywaniu równań nie tylko trygonometrycznych.

Tak jak w formułowaniu komentarzy pod wpływem... emocji?

Miłego dnia

[janusz55]

Twoje rozwiązanie nie zawiera dodatkowo dwóch wymienionych rozwiązań.\( x_{1}, x_{2} \) I nie cuduj na czerwono " przeliczalnie nieskończenie wiele rozwiązań" bo piszesz bzdury.

Zachęcam do zapoznania się z metodyką rozwiązywania równań trygonometrycznych, bez takich narzędzi jak skylab, mathway czy kalkulator równań trygonometrycznych.