Zadanie dowodowe planimetria

[Bhop]

Dany jest trójkąt ostrokątny ABC, którego pole jest równe 36. Pole trójkąta BDE jest równe 4, gdzie AE i CD są wysokościami trójkąta ABC.

Wykaż, że cosinus kąta DBE jest równy 1/3.

Obrazek mile widziany.

[Jerry]

Niech \(|BC|=a>0,\ |AB|=c>0,\ |\angle ABC|=\beta\in(0^\circ;90^\circ)\). Wtedy:

1. \(36=P_{\Delta ABC}={1\over2}\cdot a\cdot c\cdot\sin\beta\So ac\sin\beta=72\)
2. Z \(\Delta ABE:\ |BE|=c\cos\beta\)
3. Z \(\Delta DBC:\ |DB|=a\cos\beta\)
4. \(4=P_{\Delta DBE}={1\over2}\cdot|BE|\cdot|DB|\cdot\sin\beta={1\over2}\cdot c\cos\beta\cdot a\cos\beta\cdot\sin\beta={1\over2}\cdot\cos^2\beta\cdot72\So\cos^2\beta={1\over9}\)
5. Wobec \(\beta\in(0^\circ;90^\circ)\) mamy \(\cos\beta={1\over3}\). CKD

Pozdrawiam