Czy ciąg o podanym wzorze: \(a_n= \sqrt{2^{2\cdot 0}+ \sqrt{2^{2\cdot 1}+..+ \sqrt{2^{2n} + \sqrt{(2\cdot 2^n+1)^2} } } } \) jest ciągiem stałym?
Doszedłem do takiej formy ciągu \(a_n= \sqrt{2^{2\cdot 0}+ \sqrt{2^{2\cdot 1}+...+2^n+1} } \)
Ciąg stały
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Tulio
- Często tu bywam
- Posty: 192
- Rejestracja: 29 paź 2010, 12:44
- Podziękowania: 16 razy
- Otrzymane podziękowania: 48 razy
- Płeć:
Re: Ciąg stały
Rozumiem, że ciąg idzie tak:
\(a_n= \sqrt{2^{2\cdot 0}+ \sqrt{2^{2\cdot 1}+\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2n} + \sqrt{(2\cdot 2^n+1)^2} } } } }\)
Faktycznie:
\(a_n= \sqrt{2^{2\cdot 0}+ \sqrt{2^{2\cdot 1}+\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2n} + 2\cdot 2^n+1 } } } }\)
a więc:
\(a_n= \sqrt{2^{2\cdot 0}+ \sqrt{2^{2\cdot 1}+\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{ \left( 2^n+1\right)^2 } } } }\)
czyli:
\(a_n= \sqrt{2^{2\cdot 0}+ \sqrt{2^{2\cdot 1}+\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + 2^n+1 } } }\)
Niemniej jakoś ciężej mi tak ogarnąć kiedy skończyć "wyliczankę", bo tutaj \(\sqrt{2^{2n} + \sqrt{(2\cdot 2^n+1)^2} }\) to widać - jak osiągnę \(2n\) w wykładniku. Dla tej formy - sprawdźmy ręcznie dwa pierwsze wyrazy:
\(a_1 = \sqrt{2^{2\cdot 0} + \sqrt{2^{2\cdot 1} + \sqrt{2^{2\cdot 2} + \sqrt{ \left( 2\cdot 2^2 + 1\right)^2 } } } } = \sqrt{2^{2\cdot 0} + \sqrt{2^{2\cdot 1} + \sqrt{25 } } } = \sqrt{2^{2\cdot 0} + \sqrt{4 + 5 } } = \sqrt{2^{2\cdot 0} + 3} = 2\)
oraz
\(a_2 = \sqrt{2^{2\cdot 0} + \sqrt{2^{2\cdot 1} + \sqrt{2^{2\cdot 2} + \sqrt{2^{2\cdot 3} + \sqrt{2^{2\cdot 4} + \sqrt{ \left( 2\cdot 2^4 + 1\right)^2 } } } } } } = \sqrt{2^{2\cdot 0} + \sqrt{2^{2\cdot 1} + \sqrt{2^{2\cdot 2} + \sqrt{2^{2\cdot 3} + \sqrt{2^{2\cdot 4} + 2\cdot 2^4 + 1 } } } } } = \)
\(= \sqrt{2^{2\cdot 0} + \sqrt{2^{2\cdot 1} + \sqrt{2^{2\cdot 2} + \sqrt{2^{2\cdot 3} + \sqrt{289} } } } } = \sqrt{2^{2\cdot 0} + \sqrt{2^{2\cdot 1} + \sqrt{2^{2\cdot 2} + \sqrt{64 + 17 } } } } = \sqrt{2^{2\cdot 0} + \sqrt{2^{2\cdot 1} + \sqrt{2^{2\cdot 2} + 9 } } }\)
a to już znamy. Wygląda na to, że jest ciągiem stałym (miałem nadzieję, że się zepsuje). Spróbujmy więc zapisać ten ciąg z dwoma wyrazami więcej by wiedzieć "gdzie skończyć" (w sensie mi to potrzebne - wystarczyłby jeden):
\(a_n= \sqrt{2^{2\cdot 0}+ \sqrt{2^{2\cdot 1}+\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n-2\right) } + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + \sqrt{2^{2n} + \sqrt{(2\cdot 2^n+1)^2} } } } } } }\)
Mamy:
\(a_n= \sqrt{2^{2\cdot 0}+ \sqrt{2^{2\cdot 1}+\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n-2\right) } + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + 2^n + 1 } } } } }\)
(Sposób 1)
i mamy także podejrzenie, że
\(2 = \sqrt{2^{2\cdot 0}+ \sqrt{2^{2\cdot 1}+\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n-2\right) } + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + 2^n + 1 } } } } }\)
Wykonując przekształcenia równoważne:
\(4 = 2^{2\cdot 0}+ \sqrt{2^{2\cdot 1}+\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n-2\right) } + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + 2^n + 1 } } } }\)
\(3 = \sqrt{2^{2\cdot 1}+\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n-2\right) } + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + 2^n + 1 } } } }\)
\(9 = 2^{2\cdot 1}+\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n-2\right) } + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + 2^n + 1 } } }\)
\(5 = \sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n-2\right) } + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + 2^n + 1 } } }\)
\(25 = 2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n-2\right) } + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + 2^n + 1 } } \)
\(9 = \sqrt{2^{2\cdot 3}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n-2\right) } + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + 2^n + 1 } } } \)
\(17 = \sqrt{2^{2\cdot 4}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n-2\right) } + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + 2^n + 1 } } }\)
Można zauważyć, że po lewej stronie powstaje ciąg \((2, 3, 5, 9, 17, 33, ...) = 2^n+1\) (możesz to udowodnić). Powinno się z tego dać coś wysnuąć, ale się pogubiłem.
(Sposób 2)
Obliczmy \(a_{n+1}\) - mamy:
\(a_{n+1}= \sqrt{2^{2\cdot 0}+ \sqrt{2^{2\cdot 1}+\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + \sqrt{2^{2 n } + 2^{n+1} + 1 } } } } }\)
Twierdzimy, że \(a_n = a_{n+1}\)
U nas:
\( \sqrt{2^{2\cdot 0}+ \sqrt{2^{2\cdot 1}+\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n-2\right) } + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + 2^n + 1 } } } } } = \sqrt{2^{2\cdot 0}+ \sqrt{2^{2\cdot 1}+\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + \sqrt{2^{2 n } + 2^{n+1} + 1 } } } } }\)
Podnosząc do kwadratu i skracając dwie równe liczby po obu stronach:
\(\sqrt{2^{2\cdot 1}+\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n-2\right) } + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + 2^n + 1 } } } } =\sqrt{2^{2\cdot 1}+\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + \sqrt{2^{2 n } + 2^{n+1} + 1 } } } }\)
\(\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n-2\right) } + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + 2^n + 1 } } } =\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + \sqrt{2^{2 n } + 2^{n+1} + 1 } } }\)
Wyrównajmy do \(2^{2 \left( n-2\right) }\):
\(\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n-2\right) } + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + 2^n + 1 } } } =\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n - 2 \right) } + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + \sqrt{2^{2 n } + 2^{n+1} + 1 } } } }\)
po dalszych skróceniach:
\(\sqrt{2^{2 \left( n-2\right) } + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + 2^n + 1 } } =\sqrt{2^{2 \left( n - 2 \right) } + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + \sqrt{2^{2 n } + 2^{n+1} + 1 } } } \)
\(\sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + 2^n + 1 } =\sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + \sqrt{2^{2 n } + 2^{n+1} + 1 } } \)
\(2^n + 1 = \sqrt{2^{2 n } + 2^{n+1} + 1 } \)
Co jest oczywiste (tożsamość) i sam to zauważyłeś. Zatem teza jest prawdziwa.
\(a_n= \sqrt{2^{2\cdot 0}+ \sqrt{2^{2\cdot 1}+\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2n} + \sqrt{(2\cdot 2^n+1)^2} } } } }\)
Faktycznie:
\(a_n= \sqrt{2^{2\cdot 0}+ \sqrt{2^{2\cdot 1}+\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2n} + 2\cdot 2^n+1 } } } }\)
a więc:
\(a_n= \sqrt{2^{2\cdot 0}+ \sqrt{2^{2\cdot 1}+\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{ \left( 2^n+1\right)^2 } } } }\)
czyli:
\(a_n= \sqrt{2^{2\cdot 0}+ \sqrt{2^{2\cdot 1}+\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + 2^n+1 } } }\)
Niemniej jakoś ciężej mi tak ogarnąć kiedy skończyć "wyliczankę", bo tutaj \(\sqrt{2^{2n} + \sqrt{(2\cdot 2^n+1)^2} }\) to widać - jak osiągnę \(2n\) w wykładniku. Dla tej formy - sprawdźmy ręcznie dwa pierwsze wyrazy:
\(a_1 = \sqrt{2^{2\cdot 0} + \sqrt{2^{2\cdot 1} + \sqrt{2^{2\cdot 2} + \sqrt{ \left( 2\cdot 2^2 + 1\right)^2 } } } } = \sqrt{2^{2\cdot 0} + \sqrt{2^{2\cdot 1} + \sqrt{25 } } } = \sqrt{2^{2\cdot 0} + \sqrt{4 + 5 } } = \sqrt{2^{2\cdot 0} + 3} = 2\)
oraz
\(a_2 = \sqrt{2^{2\cdot 0} + \sqrt{2^{2\cdot 1} + \sqrt{2^{2\cdot 2} + \sqrt{2^{2\cdot 3} + \sqrt{2^{2\cdot 4} + \sqrt{ \left( 2\cdot 2^4 + 1\right)^2 } } } } } } = \sqrt{2^{2\cdot 0} + \sqrt{2^{2\cdot 1} + \sqrt{2^{2\cdot 2} + \sqrt{2^{2\cdot 3} + \sqrt{2^{2\cdot 4} + 2\cdot 2^4 + 1 } } } } } = \)
\(= \sqrt{2^{2\cdot 0} + \sqrt{2^{2\cdot 1} + \sqrt{2^{2\cdot 2} + \sqrt{2^{2\cdot 3} + \sqrt{289} } } } } = \sqrt{2^{2\cdot 0} + \sqrt{2^{2\cdot 1} + \sqrt{2^{2\cdot 2} + \sqrt{64 + 17 } } } } = \sqrt{2^{2\cdot 0} + \sqrt{2^{2\cdot 1} + \sqrt{2^{2\cdot 2} + 9 } } }\)
a to już znamy. Wygląda na to, że jest ciągiem stałym (miałem nadzieję, że się zepsuje). Spróbujmy więc zapisać ten ciąg z dwoma wyrazami więcej by wiedzieć "gdzie skończyć" (w sensie mi to potrzebne - wystarczyłby jeden):
\(a_n= \sqrt{2^{2\cdot 0}+ \sqrt{2^{2\cdot 1}+\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n-2\right) } + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + \sqrt{2^{2n} + \sqrt{(2\cdot 2^n+1)^2} } } } } } }\)
Mamy:
\(a_n= \sqrt{2^{2\cdot 0}+ \sqrt{2^{2\cdot 1}+\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n-2\right) } + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + 2^n + 1 } } } } }\)
(Sposób 1)
i mamy także podejrzenie, że
\(2 = \sqrt{2^{2\cdot 0}+ \sqrt{2^{2\cdot 1}+\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n-2\right) } + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + 2^n + 1 } } } } }\)
Wykonując przekształcenia równoważne:
\(4 = 2^{2\cdot 0}+ \sqrt{2^{2\cdot 1}+\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n-2\right) } + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + 2^n + 1 } } } }\)
\(3 = \sqrt{2^{2\cdot 1}+\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n-2\right) } + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + 2^n + 1 } } } }\)
\(9 = 2^{2\cdot 1}+\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n-2\right) } + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + 2^n + 1 } } }\)
\(5 = \sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n-2\right) } + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + 2^n + 1 } } }\)
\(25 = 2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n-2\right) } + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + 2^n + 1 } } \)
\(9 = \sqrt{2^{2\cdot 3}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n-2\right) } + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + 2^n + 1 } } } \)
\(17 = \sqrt{2^{2\cdot 4}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n-2\right) } + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + 2^n + 1 } } }\)
Można zauważyć, że po lewej stronie powstaje ciąg \((2, 3, 5, 9, 17, 33, ...) = 2^n+1\) (możesz to udowodnić). Powinno się z tego dać coś wysnuąć, ale się pogubiłem.
(Sposób 2)
Obliczmy \(a_{n+1}\) - mamy:
\(a_{n+1}= \sqrt{2^{2\cdot 0}+ \sqrt{2^{2\cdot 1}+\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + \sqrt{2^{2 n } + 2^{n+1} + 1 } } } } }\)
Twierdzimy, że \(a_n = a_{n+1}\)
U nas:
\( \sqrt{2^{2\cdot 0}+ \sqrt{2^{2\cdot 1}+\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n-2\right) } + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + 2^n + 1 } } } } } = \sqrt{2^{2\cdot 0}+ \sqrt{2^{2\cdot 1}+\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + \sqrt{2^{2 n } + 2^{n+1} + 1 } } } } }\)
Podnosząc do kwadratu i skracając dwie równe liczby po obu stronach:
\(\sqrt{2^{2\cdot 1}+\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n-2\right) } + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + 2^n + 1 } } } } =\sqrt{2^{2\cdot 1}+\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + \sqrt{2^{2 n } + 2^{n+1} + 1 } } } }\)
\(\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n-2\right) } + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + 2^n + 1 } } } =\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + \sqrt{2^{2 n } + 2^{n+1} + 1 } } }\)
Wyrównajmy do \(2^{2 \left( n-2\right) }\):
\(\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n-2\right) } + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + 2^n + 1 } } } =\sqrt{2^{2\cdot 2}+ ... + \sqrt{2^{2 \left( n - 2 \right) } + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + \sqrt{2^{2 n } + 2^{n+1} + 1 } } } }\)
po dalszych skróceniach:
\(\sqrt{2^{2 \left( n-2\right) } + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + 2^n + 1 } } =\sqrt{2^{2 \left( n - 2 \right) } + \sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + \sqrt{2^{2 n } + 2^{n+1} + 1 } } } \)
\(\sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + 2^n + 1 } =\sqrt{2^{2 \left( n-1\right) } + \sqrt{2^{2 n } + 2^{n+1} + 1 } } \)
\(2^n + 1 = \sqrt{2^{2 n } + 2^{n+1} + 1 } \)
Co jest oczywiste (tożsamość) i sam to zauważyłeś. Zatem teza jest prawdziwa.