gładkiej powierzchni, po której może poruszać się bez tarcia. Obie sprężyny mają jednakowe stałe
sprężystości k=6430 N/m. Wyznacz częstość drgań f klocka.
Sprężyny
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Sprężyny
Dwie sprężyny połączono ze sobą i przyczepiono do klocka o masie m=0,245kg znajdującego się na
gładkiej powierzchni, po której może poruszać się bez tarcia. Obie sprężyny mają jednakowe stałe
sprężystości k=6430 N/m. Wyznacz częstość drgań f klocka.
gładkiej powierzchni, po której może poruszać się bez tarcia. Obie sprężyny mają jednakowe stałe
sprężystości k=6430 N/m. Wyznacz częstość drgań f klocka.
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1551
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 409 razy
Re: Sprężyny
Musimy znaleźć stałą sprężystości dla połączenia szeregowego \( k_{szer} \) dwóch sprężyn pokazanych na rysunku o takich samych współczynnikach sprężystości \( k.\)
Obliczamy tę wielkość poprzez znalezienie wartości \( F \) siły wywieranej na masę \( m, \) gdy całkowite wydłużenie sprężyn
wynosi \( x_{c}.\)
Wtedy
\( k_{szer} = \frac{F}{x_{c}}.\)
Załóżmy, że lewa sprężyna jest wydłużona o \(x_{1},\) a prawa sprężyna jest wydłużona o \( x_{2}.\)
Lewa sprężyna wywiera siłę o wartości \( F_{l} = k\cdot x_{1} \) na prawą sprężynę i prawa sprężyna wywiera siłę o wartości
\( F_{p} = k\cdot x_{2}\) na lewą sprężynę.
Zgodnie z trzecim prawem Newtona wartości tych sił sprężystości muszą być równe, więc \( x_{1} = x_{2} = x \)
Oba wydłużenia muszą więc być takie same, a całkowite wydłużenie jest równe sumie wydłużeń każdej ze sprężyn:
\( x_{c} = x_{1}+x_{2} = x + x = 2\cdot x.\)
Lewa sprężyna działa siłą na masę \( m \) i jej wielkość wynosi \( F = k\cdot x.\)
Stąd
\( k_{szer} =\frac{ k\cdot x}{x_{c}} = \frac{k\cdot x}{2x} = \frac{k}{2}. \)
Klocek zachowuje się tak, jakby działała na niego jedna sprężyna o współczynniku sprężystości \( k_{szer} = \frac{k}{2}.\)
Zatem częstotliwość drgań układu -"klocek-sprężyny" wynosi:
\( f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_{szer}}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{2m}}. \)
Uwaga
Dla układu połączenia szeregowego dwóch sprężyn o współczynnikach sprężystości odpowiednio równych \( k_{1}, k_{2}, \)można udowodnić równość:
\( \frac{1}{k_{szer}} = \frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}}.\)
czyli
\( k_{szer} = \frac{k_{1}\cdot k_{2}}{k_{1} + k_{2}}.\)
Obliczamy tę wielkość poprzez znalezienie wartości \( F \) siły wywieranej na masę \( m, \) gdy całkowite wydłużenie sprężyn
wynosi \( x_{c}.\)
Wtedy
\( k_{szer} = \frac{F}{x_{c}}.\)
Załóżmy, że lewa sprężyna jest wydłużona o \(x_{1},\) a prawa sprężyna jest wydłużona o \( x_{2}.\)
Lewa sprężyna wywiera siłę o wartości \( F_{l} = k\cdot x_{1} \) na prawą sprężynę i prawa sprężyna wywiera siłę o wartości
\( F_{p} = k\cdot x_{2}\) na lewą sprężynę.
Zgodnie z trzecim prawem Newtona wartości tych sił sprężystości muszą być równe, więc \( x_{1} = x_{2} = x \)
Oba wydłużenia muszą więc być takie same, a całkowite wydłużenie jest równe sumie wydłużeń każdej ze sprężyn:
\( x_{c} = x_{1}+x_{2} = x + x = 2\cdot x.\)
Lewa sprężyna działa siłą na masę \( m \) i jej wielkość wynosi \( F = k\cdot x.\)
Stąd
\( k_{szer} =\frac{ k\cdot x}{x_{c}} = \frac{k\cdot x}{2x} = \frac{k}{2}. \)
Klocek zachowuje się tak, jakby działała na niego jedna sprężyna o współczynniku sprężystości \( k_{szer} = \frac{k}{2}.\)
Zatem częstotliwość drgań układu -"klocek-sprężyny" wynosi:
\( f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_{szer}}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{2m}}. \)
Uwaga
Dla układu połączenia szeregowego dwóch sprężyn o współczynnikach sprężystości odpowiednio równych \( k_{1}, k_{2}, \)można udowodnić równość:
\( \frac{1}{k_{szer}} = \frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}}.\)
czyli
\( k_{szer} = \frac{k_{1}\cdot k_{2}}{k_{1} + k_{2}}.\)