Pomoc dotycząca geometrii analitycznej!!

[pragg]

P: Okrąg dotyka boków AB, BC, CD równoległoboku ABCD odpowiednio w punktach K, L i M. Udowodnić, że prosta KL przecina na pół wysokość równoległoboku narysowanego od wierzchołka C do AB.

Wiem tylko, że linia KC przecina kąt między KL i KM na pół, chociaż nie jestem pewien, dokąd stąd iść.

[Jerry]

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku z szybkimi wnioskami: \(|KB|=|BL|\) oraz \(|LC|=|CM|\)

Przesunąłem również wyjściową figurę o wektor \(\vec{MC}\) oraz narysowałem odcinek \(\overline{KN}\parallel\overline{BC}\). Na rysunku pojawił się romb \(KB'C'N\) z wpisanym okręgiem. Pozostaje wykorzystać jego własności i sformalizować dowód... ale brakuje mi samozaparcia

Pozdrawiam

[janusz55]

Za pomocą geometrii analitycznej

Wprowadzamy układ współrzędnych prostokątnych \( Oxy \) o początku w środku okręgu \( O(0,0).\)

W tym układzie - współrzędne punktów \( K, M ,C, E \) wynoszą odpowiednio: \( K(0,-R), \ \ M( 0, R), \ \ C(P, R), \ \ E(P.-R),\)

gdzie:

\( (P, 0 ) \) - współrzędna punktu przecięcia się prostej \( KL \) z wysokością równoległoboku.

Stąd

\( |\overline{CP}|^2 = (P -P)^2 +(R- 0)^2 = 0 + R^2 = R^2.\)

\( |\overline{PE}|^2 = (P - P)^2 + (0 +R)^2 = 0 + R^2= R^2.\)

\( |\overline{CP}|= |\overline{PE}| = R.\)

Prosta dzieli wysokość równoległoboku \( h = 2R \) na pół, narysowaną od wierzchołka \( C \) na bok \( \overline{AB}\) równoległoboku.