Proszę o pomoc z zadaniem:
\(f: S^1 -> S^1\)
\(f(z)=z^2\)
Teza: Uzasadnić że dla każdego n odwzorowanie f ma punkt okresowy o okresie podstawowym n
Punkty okresowe
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1551
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 409 razy
Re: Punkty okresowe
Punkt \( x ∈ X \) nazywamy okresowym o okresie \( 1\leq n ∈ N, \) jeśli \( f^{n}(x) = x. \)
Najmniejszą taką liczbę \( n \) nazywamy okresem podstawowym punktu \( x.\)
Musimy znaleźć taką najmniejszą liczbę naturalną \( n \) taką, że
\( f(z) = z^{2^{n}} = z \ \mid \cdot \frac{1}{z} \)
\( z^{2^{n}-1} = 1 \)
Jedynkę zamieniamy na liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej
\( 1 = \cos(2\pi) + \sin(2\pi).\)
Jeśli \( z = \cos(x) + i\sin(x), \)
to ze wzoru de Moivre'a
\( [\cos(x) + i\sin(x)]^{2^{n}-1} = [\cos(2\pi) + i\sin(2\pi)] \)
Stąd
\( (2^{n}-1)\cdot x = 2\pi \)
\( x = \frac{2\pi}{2^{n} -1}. \)
\( \Box \)
Najmniejszą taką liczbę \( n \) nazywamy okresem podstawowym punktu \( x.\)
Musimy znaleźć taką najmniejszą liczbę naturalną \( n \) taką, że
\( f(z) = z^{2^{n}} = z \ \mid \cdot \frac{1}{z} \)
\( z^{2^{n}-1} = 1 \)
Jedynkę zamieniamy na liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej
\( 1 = \cos(2\pi) + \sin(2\pi).\)
Jeśli \( z = \cos(x) + i\sin(x), \)
to ze wzoru de Moivre'a
\( [\cos(x) + i\sin(x)]^{2^{n}-1} = [\cos(2\pi) + i\sin(2\pi)] \)
Stąd
\( (2^{n}-1)\cdot x = 2\pi \)
\( x = \frac{2\pi}{2^{n} -1}. \)
\( \Box \)