Całka dla trajektorii
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Całka dla trajektorii
Co to jest całka dla trajektorii i jak można ją obliczyć? Np. \(\oint_{cykl} p\;dq = 2\pi n \hbar\) dla trajektorii \(q(t) = A\cos{\omega t}\).
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1551
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 409 razy
Re: Całka dla trajektorii
Całka po trajektorii. to pojęcie wprowadzone przez Richarda Feynmanna , wyrażające stan przejścia układu kwantowego z jednego stanu \( (t_{1} x_{1})\) do drugiego \( (t_{2}, x_{2}).\)
Mamy wyznaczyć całkę po trajektorii jakiego obiektu? Kwantowego oscylatora harmonicznego?
Mamy wyznaczyć całkę po trajektorii jakiego obiektu? Kwantowego oscylatora harmonicznego?
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1551
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 409 razy
Re: Całka dla trajektorii
Aby nie zaciemnić toku naszych rozważań ograniczymy się do sytuacji jednowymiarowej.
W mechanice klasycznej oscylatorem harmonicznym nazywamy układ opisywany następującą funkcją Hamiltona
\( H = \frac{p^2}{2m} + \frac{m\omega^2}{2} q^2 \ \ (1) \)
Obrazem mechanicznym układu \( (1) \) jest punkt materialny o masie \( m \) poruszający się pod wpływem siły o potencjale \( \frac{m\omega^2q^{2}}{2}, \)
gdzie \( q \) jest współrzędną położenia punktu.
W tym przypadku punkt drga harmonicznie wokół położenia równowagi \( q= 0 \) z częstością \(\omega, \) a zależność położenia od czasu
\( q(t) = A\cos(\omega t + \phi).\)
gdzie \( A \) jest amplitudą drgań, a \( \phi \) fazą początkową.
Spróbujmy ten klasyczny obraz przenieść na grunt mechaniki kwantowej.
W reprezentacji położeniowej Hamiltonian ma postać podobną
\( H_{0}= \frac{1}{2}p^2 + \frac{1}{2}\omega^2q^2 \)
o \( p \) i \( q \) wiemy, że spełniają regułę kumutacji \([q, p] = i\hbar I \)
Działanie euklidesowe
\( S_{0}[q(t)] =\int_{0} ^{t} \frac{1}{2}m\dot{q}^2(t) + \frac{1}{2}m\omega^2q^2(t)dt.\)
\( S_{0}[q(t)] = \int_{0}^{t} \frac{1}{2}m\sin^2(\omega t') + \frac{1}{2} m\omega^2 \cos^2(\omega t') dt' = \frac{1}{2}m \int_{q_{1}(t)}^{q_{2}(t)} \sin^2(\omega t')dt' + \frac{1}{2}m\omega^2\int_{0}^{t} \cos^2(\omega t')dt' \)
Całka po trajektorii
\( \langle q_{2}(t) |U_{0}[t_{2},t_{1}],q_{1}(t) \rangle = \frac{1}{2\pi h} \int_{q_{1}(t)}^{q_{2}(t)}\exp\left[-\frac{S_{0}(q'(t))}{h}\right] dq'(t)\)
W tym przypadku jest to całka gaussowska.
Mamy obliczyć całkę po trajektorii - cyklu
\(\oint_{cykl} p\;dq = 2\pi n \hbar \) po trajektorii \( q(t) = A\cos(\omega t). \)
Operatorem działania jest tu operator pędu niezależny od czasu.
Przyjmujemy cykl czasowy \( t_{1} \rightleftharpoons t_{2} .\)
\( \frac{1}{2\pi \hbar} \oint_{t_{1}}^{t_{2}}p\left(-\frac{A\sin(\omega t')}{\omega}\right) dt' =\frac{1}{2\pi \hbar}\frac{A^2 p}{\omega^2}\left[-\cos(\omega t)\right]_{t_{1}}^{t_{2}} = -\frac{1}{\pi \hbar}\frac{A^2 p}{\omega^2} \left[ \cos(\omega t_{2}) -\cos(\omega t_{1}) \right] = \frac{1}{\pi \hbar}\frac{A^2 p}{\omega^2} \left[ \sin\left(\frac{1}{2}\omega(t_{2}+t_{1}\right)\sin\left(\frac{1}{2}\omega(t_{2}-t_{1}\right)\right].\)
Proszę rozważyć przypadki: \( t_{1}< t_{2}, \ \ t_{1}=t_{2}, \ \ t_{1}> t_{2}.\)
Literatura
Jean Zinn- Justin. Path Integrals in quantum mechanics. Oxford University Press 2005.
W mechanice klasycznej oscylatorem harmonicznym nazywamy układ opisywany następującą funkcją Hamiltona
\( H = \frac{p^2}{2m} + \frac{m\omega^2}{2} q^2 \ \ (1) \)
Obrazem mechanicznym układu \( (1) \) jest punkt materialny o masie \( m \) poruszający się pod wpływem siły o potencjale \( \frac{m\omega^2q^{2}}{2}, \)
gdzie \( q \) jest współrzędną położenia punktu.
W tym przypadku punkt drga harmonicznie wokół położenia równowagi \( q= 0 \) z częstością \(\omega, \) a zależność położenia od czasu
\( q(t) = A\cos(\omega t + \phi).\)
gdzie \( A \) jest amplitudą drgań, a \( \phi \) fazą początkową.
Spróbujmy ten klasyczny obraz przenieść na grunt mechaniki kwantowej.
W reprezentacji położeniowej Hamiltonian ma postać podobną
\( H_{0}= \frac{1}{2}p^2 + \frac{1}{2}\omega^2q^2 \)
o \( p \) i \( q \) wiemy, że spełniają regułę kumutacji \([q, p] = i\hbar I \)
Działanie euklidesowe
\( S_{0}[q(t)] =\int_{0} ^{t} \frac{1}{2}m\dot{q}^2(t) + \frac{1}{2}m\omega^2q^2(t)dt.\)
\( S_{0}[q(t)] = \int_{0}^{t} \frac{1}{2}m\sin^2(\omega t') + \frac{1}{2} m\omega^2 \cos^2(\omega t') dt' = \frac{1}{2}m \int_{q_{1}(t)}^{q_{2}(t)} \sin^2(\omega t')dt' + \frac{1}{2}m\omega^2\int_{0}^{t} \cos^2(\omega t')dt' \)
Całka po trajektorii
\( \langle q_{2}(t) |U_{0}[t_{2},t_{1}],q_{1}(t) \rangle = \frac{1}{2\pi h} \int_{q_{1}(t)}^{q_{2}(t)}\exp\left[-\frac{S_{0}(q'(t))}{h}\right] dq'(t)\)
W tym przypadku jest to całka gaussowska.
Mamy obliczyć całkę po trajektorii - cyklu
\(\oint_{cykl} p\;dq = 2\pi n \hbar \) po trajektorii \( q(t) = A\cos(\omega t). \)
Operatorem działania jest tu operator pędu niezależny od czasu.
Przyjmujemy cykl czasowy \( t_{1} \rightleftharpoons t_{2} .\)
\( \frac{1}{2\pi \hbar} \oint_{t_{1}}^{t_{2}}p\left(-\frac{A\sin(\omega t')}{\omega}\right) dt' =\frac{1}{2\pi \hbar}\frac{A^2 p}{\omega^2}\left[-\cos(\omega t)\right]_{t_{1}}^{t_{2}} = -\frac{1}{\pi \hbar}\frac{A^2 p}{\omega^2} \left[ \cos(\omega t_{2}) -\cos(\omega t_{1}) \right] = \frac{1}{\pi \hbar}\frac{A^2 p}{\omega^2} \left[ \sin\left(\frac{1}{2}\omega(t_{2}+t_{1}\right)\sin\left(\frac{1}{2}\omega(t_{2}-t_{1}\right)\right].\)
Proszę rozważyć przypadki: \( t_{1}< t_{2}, \ \ t_{1}=t_{2}, \ \ t_{1}> t_{2}.\)
Literatura
Jean Zinn- Justin. Path Integrals in quantum mechanics. Oxford University Press 2005.