długość odcinka

[anilewe_MM]

Trójkąt prostokątny ABC o przyprostokątnych |AC| = 3 i |BC| = 4 oraz trójkąt prostokątny CDE o przyprostokątnych |CD| = 8 i |CE| = 6 są położone tak jak na rysunku. Punkty M i N są środkami boków odpowiednio AB i DE. Oblicz długości odcinka MN.

[janusz55]

Z równania Pitagorasa obliczamy długości przeciwprostokątnych AB, DE.

Obliczamy długość przyprostokątnej AN trójkąta ADN.

Obliczamy połowy tych długości.

Z trójkąta AMN obliczamy długość odcinka MN ze wzoru kosinusów.

[Jerry]

Obliczamy długość przyprostokątnej AN trójkąta ADN.

Trudno będzie - \(\Delta ADN\) nie jest prostokątny...

Wg mnie najprościej:
Połóżmy trójkąty w układzie współrzędnych tak, że \(C(0,0),\ D(8,0),\ E(0,6)\). Wtedy \(B(0,4),\ A(3,0)\) i mamy: \(M\left({3\over2},2\right),\ N(4,3)\). Stąd do odpowiedzi \(|MN|={\sqrt{29}\over2}\) bardzo blisko...

Jeśli elementarnie, to:
Z \(\Delta MCN\) i tw. Carnota, gdzie \(|CM|={1\over2}|AB|,\ |CN|={1\over2}|DE|\) oraz \(\angle MCN|= 90^\circ-|\angle BCM|-|\angle NCD|\), gdzie \(|\angle BCM|=|\angle CBM|,\ |\angle NCD|=|\angle CDN|\), skąd sinusy i cosinusy tych kątów.

Pozdrawiam

[janusz55]

Według mnie najprościej jednak z Carnota dla trójkąta AMN.

[Jerry]

Zaprezentuj, proszę, rachunki!

Pozdrawiam

[janusz55]

\( |AB|= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5.\)

\( |ED| = \sqrt{6^2 + 8^2}= \sqrt{100} = 10.\)

\( \cos(D) = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}.\)

\( |AD| = |DN| = 5.\)

\( \Delta ADN: \ \ |AN|^2 = 5^2 + 5^2 -2\cdot 5\cdot 5 \cdot \frac{4}{5} = 50 -40 = 10.\)

\( |AN| = \sqrt{10}.\)

\( \sin(A) = \frac{6}{5}, \ \ \cos(A) = \frac{3}{5} \)

\( |\angle B| = 90^{o} -\frac{1}{2}|\angle D|.\)

\( \cos(B) = \cos\left( 90^{o} - \frac{1}{2}|\angle D| \right) = \sin\left (\frac{D}{2}\right) = \frac{\sqrt{10}}{2\cdot 5} = \frac{\sqrt{10}}{10}.\)

\( \sin(B) = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{10}}{10})^2} = \sqrt{1 - \frac{10}{100} } = \sqrt{\frac{90}{100}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}= \frac{3\sqrt{10}}{10}.\)

\( |\angle MAN| = \alpha = 180^{o}-(A+B). \)

\( \cos(\alpha) = \cos(180^{o} - (A +B)) = -\cos(A+B) = -\cos(A) \cos(B)+ \sin(A) \sin(B) = -\frac{3}{5}\cdot \frac{\sqrt{10}}{10} + \frac{6}{5}\cdot \frac{3\sqrt{10}}{10} = \frac{15}{50}\sqrt{10} = \frac{3\sqrt{10}}{10} \)

\( \Delta AMN: \ \ |MN|^2 = 5^2 + \sqrt{10^2} - 2\cdot 5 \cdot \sqrt{10} \cdot \frac{3\sqrt{10}}{10} = 25+10 -30 = 5.\)

\( |MN| =\sqrt{5}.\)

[Jerry]

\( |MN| =\sqrt{5}.\)

Nie przekonałeś mnie...

Połóżmy trójkąty w układzie współrzędnych tak, że \(C(0,0),\ D(8,0),\ E(0,6)\). Wtedy \(B(0,4),\ A(3,0)\) i mamy: \(M\left({3\over2},2\right),\ N(4,3)\). Stąd do odpowiedzi \(|MN|={\sqrt{29}\over2}\) bardzo blisko...

Wskaż, proszę, błąd w moich rachunkach.

Miłego dnia

[janusz55]

Nie widzę błędu w Twoich rachunkach

\( |MN| = \sqrt{7,25} = \sqrt{\frac{29}{4}} = \frac{\sqrt{29}}{2}. \)

W moich rachunkach zauważyłem błąd, powinno być:

\(\Delta AMN: \ \ |MN|^2 = 2,5 ^2 + \sqrt{10^2} - 2\cdot 2,5 \cdot \sqrt{10} \cdot \frac{3\sqrt{10}}{10} = 16,25 -15 = 1,25.\)

\( |MN| = \sqrt{1,25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \) - wynik wydaje się za mały.

Spojrzę na jeszcze raz na rozwiązanie tego zadania metodami geometrii syntetycznej.

[Jerry]

Jeśli elementarnie, to:
Z \(\Delta MCN\) i tw. Carnota, gdzie \(|CM|={1\over2}|AB|,\ |CN|={1\over2}|DE|\) oraz \(\angle MCN|= 90^\circ-|\angle BCM|-|\angle NCD|\), gdzie \(|\angle BCM|=|\angle CBM|,\ |\angle NCD|=|\angle CDN|\), skąd sinusy i cosinusy tych kątów.

1. \(|AB|=5\), czyli:
   • \(|CM|=|BM|={5\over2}\)
   • \(|\angle BCM|=|\angle CBM|=\alpha\So \begin{cases}\sin\alpha={3\over5}\\\cos\alpha={4\over5}\end{cases}\)
2. \(|DE|=10\), czyli
   • \(|CN|=|ND|=5\)
   • \(|\angle NCD|=|\angle CDN|=\beta\So \begin{cases}\sin\beta={3\over5}\\\cos\beta={4\over5}\end{cases}\)
3. \(|\angle MCN|=\gamma=90^\circ-\alpha-\beta\So\cos\gamma=\cos(90^\circ-(\alpha+\beta))=\sin(\alpha+\beta)={3\over4}\cdot{4\over5}+{3\over4}\cdot{4\over5}={24\over25}\)
4. \(|MN|^2=\left({5\over2}\right)^2+5^2-2\cdot{5\over2}\cdot5\cdot{24\over25}={29\over4}\)

Pozdrawiam
PS. Rozwiązanie mi się "rozwlekło", bo dopiero przy pisaniu posta zauważyłem, że... \(\alpha=\beta\)