długość odcinka
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 142
- Rejestracja: 12 paź 2021, 17:26
- Podziękowania: 603 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
- Płeć:
długość odcinka
Trójkąt prostokątny ABC o przyprostokątnych |AC| = 3 i |BC| = 4 oraz trójkąt prostokątny CDE o przyprostokątnych |CD| = 8 i |CE| = 6 są położone tak jak na rysunku. Punkty M i N są środkami boków odpowiednio AB i DE. Oblicz długości odcinka MN.
- Załączniki
-
- Bez tytułu.jpg (6.4 KiB) Przejrzano 1869 razy
-
- Fachowiec
- Posty: 1920
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 459 razy
Re: długość odcinka
Z równania Pitagorasa obliczamy długości przeciwprostokątnych AB, DE.
Obliczamy długość przyprostokątnej AN trójkąta ADN.
Obliczamy połowy tych długości.
Z trójkąta AMN obliczamy długość odcinka MN ze wzoru kosinusów.
Obliczamy długość przyprostokątnej AN trójkąta ADN.
Obliczamy połowy tych długości.
Z trójkąta AMN obliczamy długość odcinka MN ze wzoru kosinusów.
- Jerry
- Expert
- Posty: 3715
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 52 razy
- Otrzymane podziękowania: 2007 razy
Re: długość odcinka
Trudno będzie - \(\Delta ADN\) nie jest prostokątny...
Wg mnie najprościej:
Połóżmy trójkąty w układzie współrzędnych tak, że \(C(0,0),\ D(8,0),\ E(0,6)\). Wtedy \(B(0,4),\ A(3,0)\) i mamy: \(M\left({3\over2},2\right),\ N(4,3)\). Stąd do odpowiedzi \(|MN|={\sqrt{29}\over2}\) bardzo blisko...
Jeśli elementarnie, to:
Z \(\Delta MCN\) i tw. Carnota, gdzie \(|CM|={1\over2}|AB|,\ |CN|={1\over2}|DE|\) oraz \(\angle MCN|= 90^\circ-|\angle BCM|-|\angle NCD|\), gdzie \(|\angle BCM|=|\angle CBM|,\ |\angle NCD|=|\angle CDN|\), skąd sinusy i cosinusy tych kątów.
Pozdrawiam
-
- Fachowiec
- Posty: 1920
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 459 razy
Re: długość odcinka
\( |AB|= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5.\)
\( |ED| = \sqrt{6^2 + 8^2}= \sqrt{100} = 10.\)
\( \cos(D) = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}.\)
\( |AD| = |DN| = 5.\)
\( \Delta ADN: \ \ |AN|^2 = 5^2 + 5^2 -2\cdot 5\cdot 5 \cdot \frac{4}{5} = 50 -40 = 10.\)
\( |AN| = \sqrt{10}.\)
\( \sin(A) = \frac{6}{5}, \ \ \cos(A) = \frac{3}{5} \)
\( |\angle B| = 90^{o} -\frac{1}{2}|\angle D|.\)
\( \cos(B) = \cos\left( 90^{o} - \frac{1}{2}|\angle D| \right) = \sin\left (\frac{D}{2}\right) = \frac{\sqrt{10}}{2\cdot 5} = \frac{\sqrt{10}}{10}.\)
\( \sin(B) = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{10}}{10})^2} = \sqrt{1 - \frac{10}{100} } = \sqrt{\frac{90}{100}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}= \frac{3\sqrt{10}}{10}.\)
\( |\angle MAN| = \alpha = 180^{o}-(A+B). \)
\( \cos(\alpha) = \cos(180^{o} - (A +B)) = -\cos(A+B) = -\cos(A) \cos(B)+ \sin(A) \sin(B) = -\frac{3}{5}\cdot \frac{\sqrt{10}}{10} + \frac{6}{5}\cdot \frac{3\sqrt{10}}{10} = \frac{15}{50}\sqrt{10} = \frac{3\sqrt{10}}{10} \)
\( \Delta AMN: \ \ |MN|^2 = 5^2 + \sqrt{10^2} - 2\cdot 5 \cdot \sqrt{10} \cdot \frac{3\sqrt{10}}{10} = 25+10 -30 = 5.\)
\( |MN| =\sqrt{5}.\)
\( |ED| = \sqrt{6^2 + 8^2}= \sqrt{100} = 10.\)
\( \cos(D) = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}.\)
\( |AD| = |DN| = 5.\)
\( \Delta ADN: \ \ |AN|^2 = 5^2 + 5^2 -2\cdot 5\cdot 5 \cdot \frac{4}{5} = 50 -40 = 10.\)
\( |AN| = \sqrt{10}.\)
\( \sin(A) = \frac{6}{5}, \ \ \cos(A) = \frac{3}{5} \)
\( |\angle B| = 90^{o} -\frac{1}{2}|\angle D|.\)
\( \cos(B) = \cos\left( 90^{o} - \frac{1}{2}|\angle D| \right) = \sin\left (\frac{D}{2}\right) = \frac{\sqrt{10}}{2\cdot 5} = \frac{\sqrt{10}}{10}.\)
\( \sin(B) = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{10}}{10})^2} = \sqrt{1 - \frac{10}{100} } = \sqrt{\frac{90}{100}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}= \frac{3\sqrt{10}}{10}.\)
\( |\angle MAN| = \alpha = 180^{o}-(A+B). \)
\( \cos(\alpha) = \cos(180^{o} - (A +B)) = -\cos(A+B) = -\cos(A) \cos(B)+ \sin(A) \sin(B) = -\frac{3}{5}\cdot \frac{\sqrt{10}}{10} + \frac{6}{5}\cdot \frac{3\sqrt{10}}{10} = \frac{15}{50}\sqrt{10} = \frac{3\sqrt{10}}{10} \)
\( \Delta AMN: \ \ |MN|^2 = 5^2 + \sqrt{10^2} - 2\cdot 5 \cdot \sqrt{10} \cdot \frac{3\sqrt{10}}{10} = 25+10 -30 = 5.\)
\( |MN| =\sqrt{5}.\)
- Jerry
- Expert
- Posty: 3715
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 52 razy
- Otrzymane podziękowania: 2007 razy
-
- Fachowiec
- Posty: 1920
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 459 razy
Re: długość odcinka
Nie widzę błędu w Twoich rachunkach
\( |MN| = \sqrt{7,25} = \sqrt{\frac{29}{4}} = \frac{\sqrt{29}}{2}. \)
W moich rachunkach zauważyłem błąd, powinno być:
\(\Delta AMN: \ \ |MN|^2 = 2,5 ^2 + \sqrt{10^2} - 2\cdot 2,5 \cdot \sqrt{10} \cdot \frac{3\sqrt{10}}{10} = 16,25 -15 = 1,25.\)
\( |MN| = \sqrt{1,25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \) - wynik wydaje się za mały.
Spojrzę na jeszcze raz na rozwiązanie tego zadania metodami geometrii syntetycznej.
\( |MN| = \sqrt{7,25} = \sqrt{\frac{29}{4}} = \frac{\sqrt{29}}{2}. \)
W moich rachunkach zauważyłem błąd, powinno być:
\(\Delta AMN: \ \ |MN|^2 = 2,5 ^2 + \sqrt{10^2} - 2\cdot 2,5 \cdot \sqrt{10} \cdot \frac{3\sqrt{10}}{10} = 16,25 -15 = 1,25.\)
\( |MN| = \sqrt{1,25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \) - wynik wydaje się za mały.
Spojrzę na jeszcze raz na rozwiązanie tego zadania metodami geometrii syntetycznej.
- Jerry
- Expert
- Posty: 3715
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 52 razy
- Otrzymane podziękowania: 2007 razy
Re: długość odcinka
- \(|AB|=5\), czyli:
- \(|CM|=|BM|={5\over2}\)
- \(|\angle BCM|=|\angle CBM|=\alpha\So \begin{cases}\sin\alpha={3\over5}\\\cos\alpha={4\over5}\end{cases}\)
-
\(|DE|=10\), czyli
- \(|CN|=|ND|=5\)
- \(|\angle NCD|=|\angle CDN|=\beta\So \begin{cases}\sin\beta={3\over5}\\\cos\beta={4\over5}\end{cases}\)
- \(|\angle MCN|=\gamma=90^\circ-\alpha-\beta\So\cos\gamma=\cos(90^\circ-(\alpha+\beta))=\sin(\alpha+\beta)={3\over4}\cdot{4\over5}+{3\over4}\cdot{4\over5}={24\over25}\)
- \(|MN|^2=\left({5\over2}\right)^2+5^2-2\cdot{5\over2}\cdot5\cdot{24\over25}={29\over4}\)
PS. Rozwiązanie mi się "rozwlekło", bo dopiero przy pisaniu posta zauważyłem, że... \(\alpha=\beta\)