proszę o wytłumaczenie zasad działania tej operacji
w1 = [5, 7, 2]^T
w2 = [2, 1, 4]^T
w3 = [1, 0, 3]^T
Sprawdzić, czy wektory v1 = [1, 1, 0]^T , v2 = [1, 2, 1]^T są liniowymi kombinacjami wektorów
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1561
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 412 razy
Re: Sprawdzić, czy wektory v1 = [1, 1, 0]^T , v2 = [1, 2, 1]^T są liniowymi kombinacjami wektorów
Kombinacją liniową wektorów \( \alpha_{1}, ..., \alpha_{k} \) należących do przestrzeni liniowej \( V \) nad ciałem \( K \) nazywamy wektor
\( \beta = a_{1}\alpha_{1} + \ \ ... \ \ a_{k}\alpha_{k} = \sum_{i=1}^{k} a_{k}\alpha_{k} \)
Mamy przestrzeń liniową \( V = \rr^3 \) nad ciałem liczb rzeczywistych \( K= R. \)
Sprawdzamy, czy wektor \( \vec{v_{1}} = [ 1, \ \ 1, 0]^{T} \) jest kombinacją liniową wektorów \( \vec{w_{1}}, \vec{w_{2}}, \vec{w_{3}}.\)
\( \beta = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = a_{1}\begin{bmatrix} 5 \\ 7 \\ 2 \end{bmatrix}+ a_{2}\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix} + a_{3} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix} \)
Otrzymujemy układ równań
\( \begin{cases} 1 = 5a_{1} +2a_{2} +2a_{3} \\ 1 = 7a_{1} +a_{2} + a_{3} \\ 0 = 2a_{1} + 4a_{2} +4a_{3} \end{cases} \)
Sprawdzamy, czy układ ma dokładnie jedno rozwiązanie - jest oznaczony.
Macierzą układu jest macierz
\( \begin{bmatrix} 5 & 2 & 2 & 1 \\ 7 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 4 & 0 \end{bmatrix} \)
Operacje elementarne na wierszach macierzy. układu:
\( w_{1} \leftrightarrow w_{3} \)
\( \begin{bmatrix} 2 & 4 & 4 & 0 \\ 5& 2 & 2 & 1 \\ 7 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \)
\( -2w_{2} +5w_{1} , \ \ -2w_{3} +7w_{1} \)
\( \begin{bmatrix} 2 & 4 & 4 & 0 \\ 0 & 16 & 16 & -2 \\ 0 & 26 & 26 & -2 \end{bmatrix} \)
\( w_{2}\cdot (\frac{1}{2}), \ \ w_{3} \cdot (\frac{1}{2})\)
\( \begin{bmatrix} 2 & 4 & 4 & 0 \\ 0 & 8 & 8 & -1 \\ 0 & 13 & 13 & -1 \end{bmatrix} \)
\( -8w_{3} +13w_{2} \)
\( \begin{bmatrix} 2 & 4 & 4 & 0 \\ 0 & 8 & 8 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -5 \end{bmatrix} \)
Z ostatniego wiersza macierzy odczytujemy, że układ równań jest układem sprzecznym.
Wektor \( \vec{v_{1}} = [1, \ \ 1, \ \ 0]^{T} \) nie jest kombinacją liniową wektorów \( \vec{w_{1}}, \vec{w_{2}}, \vec{w_{3}}.\)
Proszę sprawdzić, czy wektor \( \vec{v_{2}}= [ 1, \ \ 2, \ \ 1]^{T} \) jest kombinacją liniową wektorów \( \vec{w_{1}}, \vec{w_{2}}, \vec{w_{3}}.\)
\( \beta = a_{1}\alpha_{1} + \ \ ... \ \ a_{k}\alpha_{k} = \sum_{i=1}^{k} a_{k}\alpha_{k} \)
Mamy przestrzeń liniową \( V = \rr^3 \) nad ciałem liczb rzeczywistych \( K= R. \)
Sprawdzamy, czy wektor \( \vec{v_{1}} = [ 1, \ \ 1, 0]^{T} \) jest kombinacją liniową wektorów \( \vec{w_{1}}, \vec{w_{2}}, \vec{w_{3}}.\)
\( \beta = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = a_{1}\begin{bmatrix} 5 \\ 7 \\ 2 \end{bmatrix}+ a_{2}\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix} + a_{3} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix} \)
Otrzymujemy układ równań
\( \begin{cases} 1 = 5a_{1} +2a_{2} +2a_{3} \\ 1 = 7a_{1} +a_{2} + a_{3} \\ 0 = 2a_{1} + 4a_{2} +4a_{3} \end{cases} \)
Sprawdzamy, czy układ ma dokładnie jedno rozwiązanie - jest oznaczony.
Macierzą układu jest macierz
\( \begin{bmatrix} 5 & 2 & 2 & 1 \\ 7 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 4 & 0 \end{bmatrix} \)
Operacje elementarne na wierszach macierzy. układu:
\( w_{1} \leftrightarrow w_{3} \)
\( \begin{bmatrix} 2 & 4 & 4 & 0 \\ 5& 2 & 2 & 1 \\ 7 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \)
\( -2w_{2} +5w_{1} , \ \ -2w_{3} +7w_{1} \)
\( \begin{bmatrix} 2 & 4 & 4 & 0 \\ 0 & 16 & 16 & -2 \\ 0 & 26 & 26 & -2 \end{bmatrix} \)
\( w_{2}\cdot (\frac{1}{2}), \ \ w_{3} \cdot (\frac{1}{2})\)
\( \begin{bmatrix} 2 & 4 & 4 & 0 \\ 0 & 8 & 8 & -1 \\ 0 & 13 & 13 & -1 \end{bmatrix} \)
\( -8w_{3} +13w_{2} \)
\( \begin{bmatrix} 2 & 4 & 4 & 0 \\ 0 & 8 & 8 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -5 \end{bmatrix} \)
Z ostatniego wiersza macierzy odczytujemy, że układ równań jest układem sprzecznym.
Wektor \( \vec{v_{1}} = [1, \ \ 1, \ \ 0]^{T} \) nie jest kombinacją liniową wektorów \( \vec{w_{1}}, \vec{w_{2}}, \vec{w_{3}}.\)
Proszę sprawdzić, czy wektor \( \vec{v_{2}}= [ 1, \ \ 2, \ \ 1]^{T} \) jest kombinacją liniową wektorów \( \vec{w_{1}}, \vec{w_{2}}, \vec{w_{3}}.\)