Wyznaczyc przedział zbieznosci szeregu
\( \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(4x-7)^{n}}{2^n \cdot \sqrt{9n^5} } \)
szereg
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1551
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 409 razy
Re: szereg
\( \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(4x-7)^{n}}{2^n \cdot \sqrt{9n^5}} \ \ (1)\)
Oznaczamy \( y:= 4x - 7.\)
Znajdujemy wpierw promień zbieżności szeregu
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^{n}}{2^{n}\cdot \sqrt{9n^5}} \ \ (2) \)
Stosujemy kryterium d'Alemberta
\( \left| \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right| =\left |\frac{2^{n}\sqrt{9n^5}}{2^{n+1}\sqrt{9(n+1)^5}}\right|= \frac{3 \sqrt{n^5}}{6\sqrt{(n+1)^5}} = \frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{n}{n+1}\right)^5} \rightarrow \frac{1}{2} \) gdy \( n \rightarrow \infty. \)
Promień zbieżności szeregu \( (2) \ \ R = 2.\)
Oznacza to, że dla \( |4x -7|< 2 \) szereg dany jest zbieżny, a dla \( |4x - 7| > 2\) rozbieżny.
Rozwiązując nierówność, otrzymujemy
\( -2 < 4x -7 < 2, \ \ 7-2 < 4x < 7+2, \ \ 5 < 4x < 9, \ \ \frac{5}{4} < x < \frac{9}{4}. \)
Interesuje nas zbieżność szeregu w końcach przedziału zbieżności \( x_{1} = \frac{5}{4}, \ \ x_{2} = \frac{9}{4}.\)
Podstawiając \( x_{1} = \frac{5}{4} \) do szeregu \( (1) \) otrzymujemy szereg naprzemienny \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{9n^5}} \) - zbieżny na podstawie kryterium G. Leibniza.
Podstawiając \( x_{2} = \frac{9}{4} \) otrzymujemy szereg harmoniczny \( \frac{1}{3}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac{5}{2}}} \) rzędu \( \frac{5}{2} \) - zbieżny na podstawie kryterium zbieżności szeregów harmonicznych.
Przedział zbieżności danego szeregu \( x \in \left [ \frac{5}{4}, \ \ \frac{9}{4}\right]. \)
Oznaczamy \( y:= 4x - 7.\)
Znajdujemy wpierw promień zbieżności szeregu
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^{n}}{2^{n}\cdot \sqrt{9n^5}} \ \ (2) \)
Stosujemy kryterium d'Alemberta
\( \left| \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right| =\left |\frac{2^{n}\sqrt{9n^5}}{2^{n+1}\sqrt{9(n+1)^5}}\right|= \frac{3 \sqrt{n^5}}{6\sqrt{(n+1)^5}} = \frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{n}{n+1}\right)^5} \rightarrow \frac{1}{2} \) gdy \( n \rightarrow \infty. \)
Promień zbieżności szeregu \( (2) \ \ R = 2.\)
Oznacza to, że dla \( |4x -7|< 2 \) szereg dany jest zbieżny, a dla \( |4x - 7| > 2\) rozbieżny.
Rozwiązując nierówność, otrzymujemy
\( -2 < 4x -7 < 2, \ \ 7-2 < 4x < 7+2, \ \ 5 < 4x < 9, \ \ \frac{5}{4} < x < \frac{9}{4}. \)
Interesuje nas zbieżność szeregu w końcach przedziału zbieżności \( x_{1} = \frac{5}{4}, \ \ x_{2} = \frac{9}{4}.\)
Podstawiając \( x_{1} = \frac{5}{4} \) do szeregu \( (1) \) otrzymujemy szereg naprzemienny \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{9n^5}} \) - zbieżny na podstawie kryterium G. Leibniza.
Podstawiając \( x_{2} = \frac{9}{4} \) otrzymujemy szereg harmoniczny \( \frac{1}{3}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac{5}{2}}} \) rzędu \( \frac{5}{2} \) - zbieżny na podstawie kryterium zbieżności szeregów harmonicznych.
Przedział zbieżności danego szeregu \( x \in \left [ \frac{5}{4}, \ \ \frac{9}{4}\right]. \)