Liczby zespolone

[Bartek216]

Korzystając z własności na liczbach zespolonych, wyprowadzić wzory na cos(2a+B) i sin(2a+B) oraz cos(a + B + y) i sin(a + B + y)

[janusz55]

\( \cos( 2a +B),\ \ \sin(2a +B). \)

Najpierw korzystając z własności liczb zespolonych wyprowadzimy tożsamości trygonometryczne na sinus i kosinus podwojonego argumentu.

Przypomnijmy wzór L. Eulera wiążący postać wykładniczą z postacią trygonometryczną liczby zespolonej.

\( e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x), \ \ x\in \rr.\)

\( e^{2x} = e^{x}\cdot e^{x} = (\cos(x) + i\sin(x))\cdot (\cos(x) + i\sin(x)) =[\cos(x) + i\sin(x)]^2 = \cos^2(x)+ 2i\sin(x)\cos(x) - \sin^2(x) = \)
\( = [\cos^2(x)-\sin^2(x) + 2i \sin(x)\cos(x)] = \cos(2x) + i\sin(2x) \)

Stąd

\( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x), \ \ \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) \ \ (*)\)


Ponownie korzystamy ze wzoru Eulera

\( e^{i(2a +B)} = e^{i2a}e^{iB} =\cos(2a +B)+i\sin(2a + B)=[\cos(2a) + i\sin(2a)][\cos(B)+i\sin(B)]=[\cos(2a)\cos(B) +i\sin(B)\cos(2a)+i \sin(2a)\cos(B)-\sin(2a)\sin(B)]= \)

\( = [\cos(2a)\cos(B) - \sin(2a)\sin(B) + i( \sin(B)\cos(2a) + \sin(2a)\cos(B))] = \)

Wykorzystamy wzory \( (*) \)

\( = [(\cos^2(a)-\sin^2(a)\cos(B) -2\sin(a)\cos(a)\sin(B) +i (\sin(B)(\cos^2(a)-\sin^2(a)) + 2\sin(a)\cos(a)\cos(B))] \)

Stąd

\( \cos(2a +B) = \cos^2(a)-\sin^2(a)\cos(B) -2\sin(a)\cos(a)\sin(B), \ \ \sin(2a +B) = \sin(B)(\cos^2(a)-\sin^2(a)) + 2\sin(a)\cos(a)\cos(B)).\)

Podobnie można wyprowadzić wzory na kosinus i sinus sumy trzech argumentów, wykorzystując wyżej wyprowadzone wzory na sinus i kosinus sumy dwóch argumentów.

[Jakub2137]

Czy mógłby Pan przedstawić także rozwiązanie dla cos(a + B + y) i sin(a + B + y), nie jest to takie jasne

[janusz55]

Niech \(2\alpha = \alpha +y \)

Stąd

\( \alpha = \frac{\alpha+y}{2} \)

Na podstawie wyżej wyprowadzonych wzorów:

\( \cos(\alpha +y +B) = = \left[\cos^2\left(\frac{\alpha+y}{2}\right) -\sin^2\left(\frac{\alpha+y}{2}\right) \right] \cos(B) -\sin(\alpha +y)\sin(B) =\cos(\alpha +y)\cos(B) -\sin(\alpha+y)\sin(B). \)

\( \sin(\alpha +y +B) = \cos(\alpha +y)\sin(B) + \sin(\alpha +y)\cos(B).\)

[Jakub2137]

Doszedłem do czegoś takiego:
e^a+b+y =

[Jakub2137]

Doszedłem do czegoś takiego dla \( 2 \alpha = a + b\):
\(e^{a+b+y} = e^{i(a+b)} * e^{i(y)} = (\cos(a+y) + i \sin (a+y))*( \cos(y) + i \sin(y)) =
\cos (2 \alpha) + i \sin( 2 \alpha) * ( \cos(y) + \sin(y) )= \)
\(=(\cos^2( \frac{a+b}{2}) - \sin^2 (\frac{a+b}{2}) + 2i \sin(\frac{a+b}{2}) \cos(\frac{a+b}{2})))*(\cos(y)+i\sin(y))\)

[janusz55]

Wykonaj moożenia. Wydziel część rzeczywistą i urojoną.

Zwiń część rzeczywistą i urojoną, stosując wzory na kosinus i sinus podwojonego argumentu.

[Bartek216]

istą i urojoną.

Panie Januszu, czy użycie wzoru e^(i(a+B+y))= (cos(a)+isin(a))⋅(cos(B)+isin(B))⋅(cos(y)+isin(y))... i wymnożenie wszystkie oraz późniejsze rozdzielenie na część urojoną i rzeczywistą też będzie dobrym rozwiązaniem?

[janusz55]

Też będzie dobrym rozwiązaniem. Jak napisałem wcześniej nie jest konieczne rozwijanie kosinusa i sinusa trzech argumentów ze wzoru Eulera.

Można wykorzystać wcześniej wykonane rozwinięcie sinusa i kosinusa dwóch argumentów, łącząc w sumę jeden argument. Później sumę uwzględnić w końcowym wzorze.