Kąt dwuścienny

[anilewe_MM]

Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o bokach \(6\) i \(6\sqrt{2}\) a każda jego krawędź boczna jest równa \(6\). Oblicz kosinus kąta pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa.

[Jerry]

Popatrzmy na fragment siatki tego ostrosłupa, szybkim wnioskiem, że \(|\angle DSC|=90^\circ\):

Kat liniowy, szukanego kąta dwuściennego, \(\angle AMN\) ograniczmy do trójkąta odcinkiem \(\overline{AN}\). Jego cosinus wyznaczyć można z tw. Carnota (wzór cosinusów), o ile obliczymy długości odcinków:

• \(|AM|=|AM_1|=3\sqrt3\)
• \(|MN|=|M_2N|={1\over2}\cdot6=3\)
• \(|AN|=\sqrt{6^2+(3\sqrt2)^2}=\ldots\)

Pozdrawiam

[edited] Errata: na rysunku niepoprawnie zaznaczyłem długość \(\overline{AB}\) - powinno być \(6\sqrt2\), na szczęście bez istotnych konsekwencji

[Jerry]

Miałem nie komentować sztucznej inteligencji, ale...

Kosinus kąta pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa wynosi 1/36.
Uwaga:
Warto zauważyć, że kąt pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego jest zawsze równy 60°.

Najczęściej kąt pomiędzy sąsiednimi ścianami ostrosłupa prawidłowego jest rozwarty (wyjątek dla ostrosłupa trójkątnego), zatem jego cosinus jest ujemny!
W omawianym zadaniu poprawna odpowiedź: \(-{\sqrt3\over3}\).

Pozdrawiam
PS. Moderacja mogłaby takie posty po prostu kasować!