Maksymalna objętość stożka

[jtrojan18]

Znaleźć trojkat o danym obwodzie 2p, który obracając się dookoła jednego ze swoich boków tworzy bryłę o największej objętości.

[jtrojan18]

Odpowiedź to 3/4p 3/4p i 1/2p

[janusz55]

Założenie:

\( x+y +z = 2p \)

Proponuję skorzystać ze wzoru Herona na pole trójkąta

\( |P| = \sqrt{p(p-x)(p-y)(p-z)}\)

\( \frac{1}{2}x\cdot h = \sqrt{p(p-x)(p-y)(p-z)} \)

\( h = \frac{2 \sqrt{p(p-x)(p-y)(p-z)}}{x} \)

Objętość dwóch stożków złożonych z sobą podstawami

\( |V| = \frac{1}{3}\pi h^2x = \frac{4\pi p (p-x)(p-y)(p-z)}{3x} \)

Metoda mnożników J. L. Lagrange'a

Znajdujemy maksimum funkcji

\( \mathcal{L}(x,y, z, \lambda) = \frac{4\pi p (p-x)(p-y)(p-z)}{3x} +\lambda (x+y+z -2p).\)

przy ograniczeniu: \( x+y + z -2p = 0.\)

[Jerry]

Albo:
Jeśli boki trójkąta mają długości \(a=x>0,\ b=y>0,\ 0<c=h=2p-x-y<p\) i obracamy ten trójkąt dookoła boku \(c\), to

• wysokość trójkąta opuszczona na bok \(c\) jest promieniem podstawy stożka / wspólnej podstawy stożków i jest równa (liczone analogicznie jak w poście janusz55)
  \[r=\frac{2\sqrt{p(p-x)(p-y)(x+y-p)}}{2p-x-y}\]
• objętość bryły obrotowej można określić jako funkcję dwóch zmiennych:
  \[V(x,y)=\frac{4\pi p(p-x)(p-y)(x+y-p)}{2p-x-y}\]

Wystarczy wskazać wartość maksymalną funkcji
\[f(x,y)=\frac{(p-x)(p-y)(x+y-p)}{2p-x-y}\]
na obszarze: \(D=\{(x,y)\in\rr^2;\ x>0\wedge y>0\wedge 0<2p-x-y<p\}\) i sformułować odpowiedź, ale to już nie ja.

janusz55 pewnie chętnie policzy różniczki...

Pozdrawiam

PS.

Zapytałem Wolframa przy \(p=6\). Odpowiedział: \(x=y={9\over2}={3\over4}\cdot6\)

[BrovtalGemini]

Znajdźmy trojkąt o danym obwodzie 2p i maksymalnej objętości bryły powstałej przez obrót wokół jednego z boków.
Analiza:

Obwód: 2p = a + b + c, gdzie a, b i c są długościami boków trojkąta.
Pole powierzchni:
Podczas obrotu jednego boku powstaje stożek o promieniu (a+b)/2 i wysokości c.
Pole powierzchni stożka: P = π(a+b)c/2.
Objętość:
Objętość stożka: V = (1/3)π(a+b)c^2/2.
Maksymalizacja objętości:
Szukamy wartości a, b i c, które maksymalizują V przy danym obwodzie 2p.
Rozwiązanie:

Z zależności 2p = a + b + c wyrażamy a: a = 2p - b - c.
Podstawiamy a do wzoru na objętość: V = (1/3)π(2p-b-c)bc^2/2.
Rozważamy V jako funkcję zmiennej b.
Stosujemy rachunek różniczkowy do znalezienia ekstremum funkcji V.
Po obliczeniach otrzymujemy: b = p/3 i c = 2p/3.
W rezultacie, a = p/3.
Wnioski:

Trojkąt o maksymalnej objętości bryły powstałej przez obrót wokół jednego z boków to równoboczny trojkąt o obwodzie 2p.
Długość każdego boku tego trojkąta wynosi p/3.
Uwaga:

To rozwiązanie zakłada, że ​​materiał trojkąta jest rozłożony równomiernie.
W rzeczywistości, rozkład masy może mieć wpływ na optymalny kształt trojkąta.
Dodatkowe informacje:

Można również rozważyć inne warunki, takie jak maksymalna wysokość lub minimalna powierzchnia.
Problem ten można również rozwiązać za pomocą metod geometrycznych.