Znaleźć rozwiązania podanych układów równań różniczkowych metodą eliminacji:
\(
\begin{cases}x'=-x+2y\\y'=-2x-5y \end{cases} ,x(0)=0, y(1)=1
\)
Metoda eliminacji
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1586
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 417 razy
Re: Metoda eliminacji
\( \begin{cases} x'=-x+2y \\ y'=-2x-5y \end{cases} \)
\( x(0)=0, \ \ y(1)=1. \)
Metoda eliminacji rozwiązywania układu równań różniczkowych liniowych polega na wyznaczeniu z jednego równania układu - zmiennej na przykład \( y \), obliczenia jej pochodnej i podstawienia do równania drugiego.
\( y = \frac{1}{2}\left( x' + x\right).\)
\( y' = \frac{1}{2}\left(x{''} +x' \right).\)
\( \frac{1}{2}\left(x{''} +x' \right) =-2x -\frac{5}{2} (x'+x) \)
\( \frac{1}{2}x^{''} + \frac{1}{2}x^{'} = 2x -\frac{5}{2}x' - \frac{5}{2} \)
\( \frac{1}{2}x{''}+3x^{'} + \frac{9}{2}x = 0 \ \ \mid \cdot \frac{1}{2} \)
\( x^{''} + 6x^{'} + 9x = 0 \)
Otrzymaliśmy równanie różniczkowe II rzędu - liniowe-jednorodne.
Równanie charakterystyczne
\( \lambda^2 + 6\lambda + 9 = (\lambda +3)^2 = 0 \)
ma pierwiastek podwójny \( \lambda_{1}= \lambda_{2} = -3. \)
Rozwiązanie ogólne jest więc postaci
\(x_{o}(t) = c_{1} + c_{2}t e^{-3t}.\)
Znajdujemy rozwiązanie ogólne równania
\( y_{o} = \frac{1}{2} (x_{o}' + x_{o}) = \frac{1}{2}(x'(t) + x(t)) = \frac{1}{2}\left( -3c_{2}e^{-3t} + c_{1} + c_{2}e^{-3t}\right).\)
Wyznaczamy z warunków początkowych stałe \( c_{1}, c_{2}.\)
\( 0 = c_{1} +c_{2}\cdot 0 \cdot e^{3\cdot 0},\)
\( c_{1}= 0.\)
\( 1 = \frac{1}{2}\left(-3c_{2}e^{-3} + 0 +c_{2}e^{-3} \right) \)
\( 1 = \frac{1}{2}\cdot (-2)c_{2}e^{-3} \)
\( 1 = -c_{2} e^{-3}, \ \ c_{2} = -e^{3}.\)
Rozwiązanie układu równań różniczkowych
\( \begin{cases} x(t) = -te^{-3t +3} \\ y(t) = \frac{1}{2}\left( 3e^{-3t +3} - e^{-3t + 3}\right) \end{cases} \)
\( x(0)=0, \ \ y(1)=1. \)
Metoda eliminacji rozwiązywania układu równań różniczkowych liniowych polega na wyznaczeniu z jednego równania układu - zmiennej na przykład \( y \), obliczenia jej pochodnej i podstawienia do równania drugiego.
\( y = \frac{1}{2}\left( x' + x\right).\)
\( y' = \frac{1}{2}\left(x{''} +x' \right).\)
\( \frac{1}{2}\left(x{''} +x' \right) =-2x -\frac{5}{2} (x'+x) \)
\( \frac{1}{2}x^{''} + \frac{1}{2}x^{'} = 2x -\frac{5}{2}x' - \frac{5}{2} \)
\( \frac{1}{2}x{''}+3x^{'} + \frac{9}{2}x = 0 \ \ \mid \cdot \frac{1}{2} \)
\( x^{''} + 6x^{'} + 9x = 0 \)
Otrzymaliśmy równanie różniczkowe II rzędu - liniowe-jednorodne.
Równanie charakterystyczne
\( \lambda^2 + 6\lambda + 9 = (\lambda +3)^2 = 0 \)
ma pierwiastek podwójny \( \lambda_{1}= \lambda_{2} = -3. \)
Rozwiązanie ogólne jest więc postaci
\(x_{o}(t) = c_{1} + c_{2}t e^{-3t}.\)
Znajdujemy rozwiązanie ogólne równania
\( y_{o} = \frac{1}{2} (x_{o}' + x_{o}) = \frac{1}{2}(x'(t) + x(t)) = \frac{1}{2}\left( -3c_{2}e^{-3t} + c_{1} + c_{2}e^{-3t}\right).\)
Wyznaczamy z warunków początkowych stałe \( c_{1}, c_{2}.\)
\( 0 = c_{1} +c_{2}\cdot 0 \cdot e^{3\cdot 0},\)
\( c_{1}= 0.\)
\( 1 = \frac{1}{2}\left(-3c_{2}e^{-3} + 0 +c_{2}e^{-3} \right) \)
\( 1 = \frac{1}{2}\cdot (-2)c_{2}e^{-3} \)
\( 1 = -c_{2} e^{-3}, \ \ c_{2} = -e^{3}.\)
Rozwiązanie układu równań różniczkowych
\( \begin{cases} x(t) = -te^{-3t +3} \\ y(t) = \frac{1}{2}\left( 3e^{-3t +3} - e^{-3t + 3}\right) \end{cases} \)