równanie Ricattiego
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
równanie Ricattiego
Rozwiązać równanie Ricattiego \(x' + x^2 = 5 - t^2 + 2xt\), jeżeli wiadomo, że jego rozwiązanie szczególne ma postać \(x = at + b.\)
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1561
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 412 razy
Re: równanie Ricattiego
\( x' + x^2 = 5 - t^2 + 2xt, \ \ x_{1} = at + b. \)
Rozwiązanie
\( x = x_{1} +u. \)
\( (x_{1} +u)' + (x_{1}+u )^2 = 5 - t^2 +2(x_{1}+u)t \)
\( x'_{1}+u' + x^2_{1} + 2x_{1}u + u^2 = 5 - t^2 + 2x_{1}t + 2ut .\)
\( x'_{1} + x^2_{1} = 5 -t^2 +2x_{1}t \) - rozwiązanie szczególne równania Ricattiego.
W rezultacie otrzymujemy równanie Bernoulliego rzędu \( 2 \) tylko względem zmiennej \( u. \)
\( u' +u^2 = 2u t. \)
\( u' = 2ut -u^2 \)
Podstawienia
\( u = \frac{1}{z}, \ \ z = \frac{1}{u}, \ \ u' = -\frac{1}{z^2}. \)
\( -\frac{1}{z^2} = 2\frac{1}{z}t - \frac{1}{z^2} \)
\( 2\frac{1}{z}t = 0 \)
\( t = 0, \ \ z\neq 0.\)
\( u' - u^2 = 0 \)
Otrzymaliśmy równanie liniowe drugiego rzędu - jednorodne.
Rozdzielamy zmienne i obustronnie całkujemy
\( \int \frac{du}{u^2} = \int dt.\)
\( -\frac{1}{u} = t + C, \ \ C -\) stała,
\( u = -\frac{1}{ t + C} \)
Wracamy do zmiennej \( x(t) \)
\( x(t) = x_{1} + u = at +b - \frac{1}{ t + C}. \)
Rozwiązanie
\( x = x_{1} +u. \)
\( (x_{1} +u)' + (x_{1}+u )^2 = 5 - t^2 +2(x_{1}+u)t \)
\( x'_{1}+u' + x^2_{1} + 2x_{1}u + u^2 = 5 - t^2 + 2x_{1}t + 2ut .\)
\( x'_{1} + x^2_{1} = 5 -t^2 +2x_{1}t \) - rozwiązanie szczególne równania Ricattiego.
W rezultacie otrzymujemy równanie Bernoulliego rzędu \( 2 \) tylko względem zmiennej \( u. \)
\( u' +u^2 = 2u t. \)
\( u' = 2ut -u^2 \)
Podstawienia
\( u = \frac{1}{z}, \ \ z = \frac{1}{u}, \ \ u' = -\frac{1}{z^2}. \)
\( -\frac{1}{z^2} = 2\frac{1}{z}t - \frac{1}{z^2} \)
\( 2\frac{1}{z}t = 0 \)
\( t = 0, \ \ z\neq 0.\)
\( u' - u^2 = 0 \)
Otrzymaliśmy równanie liniowe drugiego rzędu - jednorodne.
Rozdzielamy zmienne i obustronnie całkujemy
\( \int \frac{du}{u^2} = \int dt.\)
\( -\frac{1}{u} = t + C, \ \ C -\) stała,
\( u = -\frac{1}{ t + C} \)
Wracamy do zmiennej \( x(t) \)
\( x(t) = x_{1} + u = at +b - \frac{1}{ t + C}. \)