Pojemność zbiornika
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Pojemność zbiornika
Zbiornik o pojemności 2000 l wypełniony jest w jednej czwartej 4% roztworem soli. Do zbiornika wpływa 4% roztwór soli z prędkością 50 l/m, a powstała mieszanina wypływa z niego z połową mniejszą prędkością. Ile soli będzie w zbiorniku po 30 minutach?
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1564
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 412 razy
Re: Pojemność zbiornika
Oznaczenia i założenia
\( s(t) \) ilość soli w zbiorniku po czasie \( t.\)
\( s(0) = 250 \cdot 0,04 = 10\ \ kg.\)
\( v(t) \) - objętość zbiornika po czasie \( t.\)
\( v(0) = 250 \ \ l.\)
Rozwiązanie
Ilość soli wpływającej do zbiornika
\( \frac{ds(t)}{dt} = 0,04 \ \ \frac{kg}{l} \cdot 50 \frac{l}{min} = 2 \ \ \frac{kg}{min}.\)
Bieżąca ilość (ilość netto) soli w zbiorniku \( 50 \frac{l}{min} - 25 \frac{l}{min} = 25 \frac{l}{min}.\)
Objętość soli w zbiorniku po czasie \( t.\)
\( v(t) = 250 + 25 t \)
Ilość soli wypływającej ze zbiornika
\( \frac{ds}{dt} = \frac{25}{250 + 25 t} s \)
Bieżaca ilość (ilość netto) soli w zbiorniku
\( \frac{ds(t)}{dt} = 2 - \frac{25}{250 + 25\cdot t} s \)
\( \frac{ds(t)}{dt} + \frac{25}{250 + 25\cdot t} s = 2.\)
Po uproszczeniu:
\( \frac{ds(t)}{dt} + \frac{1}{10 +t}s = 2.\)
Otrzymaliśmy równanie różniczkowe - zwyczajne I rzędu niejednorodne.
Jaką przyjąć metodę rozwiązania ?
Przyjmujemy metodę czynnika całkującego.
\( \mu = e^{\int \frac{1}{10 +t} dt } = e ^{\ln(10 +t)} = 10 +t. \)
\( (10 +t) \frac{ds}{dt} + s = 2(10+t) \)
\( \frac{d}{ds(t))} [(10 +t) s] = 20 + 2t.\)
\( (10 +t)s(t) = \int(20 + 2t) dt = 20t + t^2 + C, \ \ C - \) stała
\( s(t) = \frac{t^2+20t}{10+t} + \frac{C}{10+t} \ \ (*) \)
Otrzymaliśmy rozwiązanie ogólne równania różniczkowego.
Uwzględniając warunek początkowy
\( s(0) = 0 + \frac{C}{10} = 10 \)
wyznaczamy stałą \( C = 100.\)
Po podstawieniu do równania \( (*) \)
\( s(t) = \frac{t^2+ 20t + 100}{t + 10}. \)
\( s(30) = \frac{30^2 + 20\cdot 30 +100}{30 +10} = 40. \)
Odpowiedź:
Po \( 30 \) minutach w zbiorniku będzie \( 10 + 40 = 50 \) kilogramów solanki.
\( s(t) \) ilość soli w zbiorniku po czasie \( t.\)
\( s(0) = 250 \cdot 0,04 = 10\ \ kg.\)
\( v(t) \) - objętość zbiornika po czasie \( t.\)
\( v(0) = 250 \ \ l.\)
Rozwiązanie
Ilość soli wpływającej do zbiornika
\( \frac{ds(t)}{dt} = 0,04 \ \ \frac{kg}{l} \cdot 50 \frac{l}{min} = 2 \ \ \frac{kg}{min}.\)
Bieżąca ilość (ilość netto) soli w zbiorniku \( 50 \frac{l}{min} - 25 \frac{l}{min} = 25 \frac{l}{min}.\)
Objętość soli w zbiorniku po czasie \( t.\)
\( v(t) = 250 + 25 t \)
Ilość soli wypływającej ze zbiornika
\( \frac{ds}{dt} = \frac{25}{250 + 25 t} s \)
Bieżaca ilość (ilość netto) soli w zbiorniku
\( \frac{ds(t)}{dt} = 2 - \frac{25}{250 + 25\cdot t} s \)
\( \frac{ds(t)}{dt} + \frac{25}{250 + 25\cdot t} s = 2.\)
Po uproszczeniu:
\( \frac{ds(t)}{dt} + \frac{1}{10 +t}s = 2.\)
Otrzymaliśmy równanie różniczkowe - zwyczajne I rzędu niejednorodne.
Jaką przyjąć metodę rozwiązania ?
Przyjmujemy metodę czynnika całkującego.
\( \mu = e^{\int \frac{1}{10 +t} dt } = e ^{\ln(10 +t)} = 10 +t. \)
\( (10 +t) \frac{ds}{dt} + s = 2(10+t) \)
\( \frac{d}{ds(t))} [(10 +t) s] = 20 + 2t.\)
\( (10 +t)s(t) = \int(20 + 2t) dt = 20t + t^2 + C, \ \ C - \) stała
\( s(t) = \frac{t^2+20t}{10+t} + \frac{C}{10+t} \ \ (*) \)
Otrzymaliśmy rozwiązanie ogólne równania różniczkowego.
Uwzględniając warunek początkowy
\( s(0) = 0 + \frac{C}{10} = 10 \)
wyznaczamy stałą \( C = 100.\)
Po podstawieniu do równania \( (*) \)
\( s(t) = \frac{t^2+ 20t + 100}{t + 10}. \)
\( s(30) = \frac{30^2 + 20\cdot 30 +100}{30 +10} = 40. \)
Odpowiedź:
Po \( 30 \) minutach w zbiorniku będzie \( 10 + 40 = 50 \) kilogramów solanki.
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3534
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1939 razy
Re: Pojemność zbiornika
Albo:
- Stężenie solanki w zbiorniku się nie zmienia!
- W zbiorniku jest \({1\over4}\cdot 2000=500\) litrów solanki,
- w ciągu minuty przybywa w nim \(50-25=25\) litrów solanki,
- w czasie \(30\) minut przybędzie \(25\cdot30=750\) litrów solanki ,
- po \(30\) minutach jest \(500+750=1250\) litrów solanki (zmieściło się!),
- zakładając, że litr solanki ma masę kilograma, w zbiorniku jest \(4\%\cdot1250=50\) kg soli.