Udowodnij zgodnie z definicją:
lim an→∞ (n/n2+1)=0
Udowodnij zgodnie z definicją
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1561
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 412 razy
Re: Udowodnij zgodnie z definicją
Korzystając bezpośrednio z definicji granicy ciągu, proszę udowodnić, że granica:
\( \Lim_{n\to \infty} \frac{n}{n^2+1} = 0.\)
\( \Lim_{n\to \infty} \frac{n}{n^2+1} = 0 \Longleftrightarrow \forall_{\varepsilon >0} \exists_{k\in \nn} \forall_{n>k} \left| \frac{n}{n^2+1}\right|<\varepsilon \Longleftrightarrow \forall_{\varepsilon >0} \exists_{k\in \nn} \forall_{n>k} \left| \frac{n}{n^2+1} -0\right|<\varepsilon \Longleftrightarrow \forall_{\varepsilon >0} \exists_{k\in \nn} \forall_{n>k} \left| \frac{n}{n^2}\right|<\varepsilon] \Longleftrightarrow \forall_{\varepsilon >0} \exists_{k\in \nn} \forall_{n>k} \frac{1}{n}<\varepsilon \)
\( \Longleftrightarrow \forall_{\varepsilon >0} \exists_{k\in \nn} \forall_{n>k} ( n > \frac{1}{\varepsilon}).\)
Aby dowieść prawdziwości ostatniego zdania wystarczy za \( k \) przyjąć dowolną liczbę naturalną, taką że \( k> \frac{1}{n}.\)
\( \Box \)
\( \Lim_{n\to \infty} \frac{n}{n^2+1} = 0.\)
\( \Lim_{n\to \infty} \frac{n}{n^2+1} = 0 \Longleftrightarrow \forall_{\varepsilon >0} \exists_{k\in \nn} \forall_{n>k} \left| \frac{n}{n^2+1}\right|<\varepsilon \Longleftrightarrow \forall_{\varepsilon >0} \exists_{k\in \nn} \forall_{n>k} \left| \frac{n}{n^2+1} -0\right|<\varepsilon \Longleftrightarrow \forall_{\varepsilon >0} \exists_{k\in \nn} \forall_{n>k} \left| \frac{n}{n^2}\right|<\varepsilon] \Longleftrightarrow \forall_{\varepsilon >0} \exists_{k\in \nn} \forall_{n>k} \frac{1}{n}<\varepsilon \)
\( \Longleftrightarrow \forall_{\varepsilon >0} \exists_{k\in \nn} \forall_{n>k} ( n > \frac{1}{\varepsilon}).\)
Aby dowieść prawdziwości ostatniego zdania wystarczy za \( k \) przyjąć dowolną liczbę naturalną, taką że \( k> \frac{1}{n}.\)
\( \Box \)
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1561
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 412 razy
Re: Udowodnij zgodnie z definicją
Ta nierówność wynika z oszacowania \( n- \) tego wyrazu ciągu:
\( a_{n} = \frac{n}{n^2+1} < \frac{n}{n^2} <\varepsilon \Longleftrightarrow \frac{1}{n} < \varepsilon.\)
\( a_{n} = \frac{n}{n^2+1} < \frac{n}{n^2} <\varepsilon \Longleftrightarrow \frac{1}{n} < \varepsilon.\)
Re: Udowodnij zgodnie z definicją
Poprawiam pisownię. Dziękuję za odpowiedź janusz555. Nie wiem tylko jak dojść do \( n > \frac{1}{ \varepsilon } \). Będę wdzięczna za pomoc.