Znajdź granice ciągów zadanych rekurencyjnie

[Pawm32]

\(a_{n+1}= \frac{1-a_n}{2}, \\ a_1=0\)

[janusz55]

\( \Lim a_{n} = \Lim a_{n+1} = g.\)

\( g = \frac{1-g}{2} \)

\( 3g = 1, \ \ g = \frac{1}{3}.\)

[Jerry]

\( g = \frac{1}{3}.\)

Oczywiście, o ile istnieje!

Pozdrawiam

[janusz55]

Oczywiście,. Założyliśmy, że istnieje.
Należałoby dla pełności rozwiązania sprawdzić monotoniczność i ograniczoność tego ciągu.

[Pawm32]

Oczywiście,. Założyliśmy, że istnieje.
Należałoby dla pełności rozwiązania sprawdzić monotoniczność i ograniczoność tego ciągu.

A w jaki sposób, wydaje mi się, że monotoniczność umiałbym sprawdzić, a przynajmniej wiem czego to dotyczy, natomiast z ograniczonością albo się nie spotkałem, ale nie wiem, że to jest to.

[kalo89]

\( g = \frac{1}{3}.\)

Oczywiście, o ile istnieje!

Pozdrawiam

A jak sprawdzić czy istnieje?

[Jerry]

Z monotonicznością jest problem - wg mnie dany ciąg nie jest monotoniczny (sprawdziłem po początkowych wyrazach). Podciąg wyrazów o numerach nieparzystych jest rosnący, podciąg wyrazów o indeksach parzystych - malejący...

Ograniczoność (globalnie): postawmy hipotezę \(0\le a_n\le{1\over2}\) dla każdego \(n\in\zz_+\).
\(1^\circ\quad\ a_1=0,\ a_2={1\over2}\) spełniają hipotetyczny porządek,
\(2^\circ\quad\) Załóżmy, że dla pewnego \(k\ge2\) zachodzi \(0\le a_k\le{1\over2}\). Wynika z tego, że
\[0\ge- a_k\ge-{1\over2}\\1\ge1- a_k\ge{1\over2}\\{1\over2}\ge {1-a_k\over2}\ge{1\over4}\\
{1\over2}\ge a_{k+1}\ge{1\over4}\ge0\]
Zatem, z zasady indukcji matematycznej zupełnej, hipotetyczny porządek jest prawdziwy dla wszystkich \(n\in\zz_+\) i ciąg \((a_n)\) jest ograniczony!

Pełnym, wg mnie, rozstrzygnięciem problemu, jest wykazanie:

1. rośnięcia ciągu \(b_n=a_{2n-1}\) i jego ograniczenie przez \({1\over3}\)
2. malenia ciągu \(c_n=a_{2n}\) i jego ograniczenie przez \({1\over3}\)
3. zacytowanie postu janusz55 z 15:03

Pozdrawiam
PS. Do wskazania rekurencji ciągów \(b,\ c\) przyda się:
\(a_{n+2}=\dfrac{1-a_{n+1}}{2}=\dfrac{1-\frac{1-a_{n}}{2}}{2}=\ldots\)

[janusz55]

\( a_{n+1} = \frac{ 1- a_{n}}{2}, \ \ a_{1} = 0.\)

Obliczając kolejne wartości wyrazów ciągu na przykład w programie OCTAVE:

Kod: Zaznacz cały

 >> 3/ans = 0.3750
>> 5/16                                                                                                                           
ans = 0.3125
>> 11/32
ans = 0.3438
>> 21/64
ans = 0.3281
>> long format
>> format long
>> 5/16
ans = 0.312500000000000
>> 11/32
ans = 0.343750000000000
>> 21/64
ans = 0.328125000000000
>> 43/128
ans = 0.335937500000000
>> 85/256
ans = 0.332031250000000
>> 171/512
ans = 0.333984375000000
>> 341/1024
ans = 0.333007812500000
>> 683/2028
ans = 0.336785009861933
>> 683/2048
ans = 0.333496093750000
>> 1365/4096
ans = 0.333251953125000
>> 2761/8192
ans = 0.337036132812500
>> 2731/8192
ans = 0.333374023437500

Otrzymujemy ciąg przyblżeń dolnych i ciąg przybliżeń górnych granicy ciągu \( 0,3333...= 0,(3) = \frac{1}{3}.\)