Witam,
Czy mógłbym prosić o wytłumaczenie krok po kroku jak rozwiązać takie zadanie:
Treść:
Wyznaczyć wszystkie liczby zespolone 𝒛 , dla których wyrażenie jest liczbą czysto urojoną.
\((1+z)(1−z)^{−1}\)
Z góry bardzo dziękuję za pomoc.
Jak to rozwiązać? Wyznacz wszystkie liczby zespolone
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Fachowiec
- Posty: 1863
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 458 razy
Re: Jak to rozwiązać? Wyznacz wszystkie liczby zespolone
\( w = \frac{1+z}{1-z}. \)
NIech
\( z = x+iy, \ \ x,y \in \rr\) i \( z\neq 1.\)
\( w= \frac{1+z}{1-z} = \frac{1 + x +iy}{1 - x -iy} = \frac{(1+x) +iy}{(1-x) -iy} = \frac{[(1+x)+iy][(1-x)+iy]}{[(1-x)-iy][(1-x)+iy]} = \frac{1-x^2+(1+x)iy +(1-x)iy +y^2}{(1-x)^2+y^2} = \frac{1-x^2-y^2}{(1-x)^2+y^2} + \frac{iy(1+x+1-x)}{(1-x)^2 +y^2} = \frac{ 1-x^2-y^2}{(1-x)^2+y^2} + i\frac{2y}{(1-x)^2+y^2}\)
\( \Re(w) = 0 \Longleftrightarrow \frac{ 1-x^2-y^2}{(1-x)^2+y^2} =0 \Longleftrightarrow 1-x^2-y^2 = 0 \Longleftrightarrow x^2+y^2=1
\)
Są to wszystkie liczby zespolone \( z \neq 1, \) dla których \( |z| = \sqrt{x^2+y^2} = 1\)
czyli
\( \{ z: -1 < \Re (z)< 1 \wedge \Im (z) = -\sqrt{1-\Re (z^2)}\} \cup \{ z: -1 < \Re (z)< 1 \wedge \Im z = \sqrt{1-\Re (z^2})\}. \)
NIech
\( z = x+iy, \ \ x,y \in \rr\) i \( z\neq 1.\)
\( w= \frac{1+z}{1-z} = \frac{1 + x +iy}{1 - x -iy} = \frac{(1+x) +iy}{(1-x) -iy} = \frac{[(1+x)+iy][(1-x)+iy]}{[(1-x)-iy][(1-x)+iy]} = \frac{1-x^2+(1+x)iy +(1-x)iy +y^2}{(1-x)^2+y^2} = \frac{1-x^2-y^2}{(1-x)^2+y^2} + \frac{iy(1+x+1-x)}{(1-x)^2 +y^2} = \frac{ 1-x^2-y^2}{(1-x)^2+y^2} + i\frac{2y}{(1-x)^2+y^2}\)
\( \Re(w) = 0 \Longleftrightarrow \frac{ 1-x^2-y^2}{(1-x)^2+y^2} =0 \Longleftrightarrow 1-x^2-y^2 = 0 \Longleftrightarrow x^2+y^2=1
\)
Są to wszystkie liczby zespolone \( z \neq 1, \) dla których \( |z| = \sqrt{x^2+y^2} = 1\)
czyli
\( \{ z: -1 < \Re (z)< 1 \wedge \Im (z) = -\sqrt{1-\Re (z^2)}\} \cup \{ z: -1 < \Re (z)< 1 \wedge \Im z = \sqrt{1-\Re (z^2})\}. \)
- Jerry
- Expert
- Posty: 3661
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 52 razy
- Otrzymane podziękowania: 1989 razy
Re: Jak to rozwiązać? Wyznacz wszystkie liczby zespolone
pisząc przyjaźnie, są to wszystkie liczby zespolone obrazowane na płaszczyźnie Gaussa przez punkty okręgu \(x^2+y^2=1\) takie, że \(y\ne0\).
Pozdrawiam
PS. Na tamtym forum jest bardzo sympatyczne rozstrzygnięcie
-
- Fachowiec
- Posty: 1863
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 458 razy
Re: Jak to rozwiązać? Wyznacz wszystkie liczby zespolone
To zależy, co się rozumie przez przyjazne rozwiązanie- bardziej czytelne, bardziej zrozumiałe?
Znam to rozwiązanie Kol. Dasio11 na "tamtym forum". Czy one jest bardziej zrozumiałe? Trudno powiedzieć.
Chyba ta Twoja interpretacja geometryczna jest najbardziej zrozumiała.
Ponadto nie przenoszę rozwiązań zadań z jednego forum na drugie.
Znam to rozwiązanie Kol. Dasio11 na "tamtym forum". Czy one jest bardziej zrozumiałe? Trudno powiedzieć.
Chyba ta Twoja interpretacja geometryczna jest najbardziej zrozumiała.
Ponadto nie przenoszę rozwiązań zadań z jednego forum na drugie.