Podać rozwiązanie ogólne i bazowe układu:
\(2x_{2}+3x_{4}-2x_{5}+4x_{6}=2\)
\(x_{1}-2x_{2}-x_{3}+2x_{5}=2\)
\(x_{1}-x_{3}+3x_{4}+4x_{6}=4\)
rozwiązanie ogólne
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1551
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 409 razy
Re: rozwiązanie ogólne
\( 2x_{2} +3x_{4}-2x_{5} + 4x_{6} = 2 \)
\( x_{1}-2x_{2}-x_{3}-2x_{5} = 2\)
\( x_{1}-x_{3}+3x_{4}+4x_{6}=4.\)
Macierzą układu \( U \) jest
\( \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 & 3 & -2 & 4 & 2 \\
1 & -2 & -1 & 0 & -2 &0 & 2\\
1 & 0 & -1 & 3 & 0 & 4 & 4 \end{bmatrix} \)
Sprowadzamy ją do zredukowanej postaci schodkowej elementarnymi operacjami na wierszach:
\( w_{1} \leftrightarrow w_{2} \)
\( \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 0 & -2 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 0 & 3 & -2 & 4 & 2\\
1 & 0 & -1 & 3 & 0 & 4 & 4 \end{bmatrix} \)
\( w_{3} - w_{1} \)
\( \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 0 & -2 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 0 & 3 & -2 & 4 & 2\\
0 & 2 & 0 & 3 & 2 & 4 & 2\end{bmatrix} \)
\( w_{3} - w_{2} \)
\( \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 0 & -2 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 0 & 3 & -2 & 4 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0\end{bmatrix} \)
\( w_{4}\cdot \frac{1}{4} \)
\( \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 0 & -2 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 0 & 3 & -2 & 4 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} \)
\( w_{1}+2w_{3}, \ \ w_{2}+2w_{3} \)
\( \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 0 & 3 & 0 & 4 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} \)
\( w_{1} +w_{2} \)
\( \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 3 & 0 & 4 & 4 \\
0 & 2 & 0 & 3 & 0 & 4 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} \)
\( w_{2}\cdot \frac{1}{2} \)
\( \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 3 & 0 & 4 & 4 \\
0 & 1 & 0 & \frac{3}{2} & 0 & 2 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} \)
Otrzymana macierz jest w zredukowanej postaci schodkowej. Odpowiada jej układ równań
\( x_{1}-x_{3}+3x_{4} +4x_{6} = 4 \)
\( x_{2}+ \frac{3}{2}x_{4}+2x_{6} = 1\)
\( x_{5} = 0.\)
Czyli
\( x_{1} = 4 +x_{3}-3x_{4}+4x_{6} \)
\( x_{2} = 1 -\frac{3}{2}x_{4}-2x_{6} \)
\( x_{5} = 0.\)
Otrzymaliśmy rozwiązanie ogólne układu równań \( U,\) w którym \( x_{1}, x_{2}, x_{5} \) są zmiennymi zależnymi, a \( x_{4}, x_{6} \) zmiennymi niezależnymi (parametrami).
Oznaczając parametry odpowiednio literami \( x_{3} = s, \ \ x_{4} = t, \ \ x_{6} = u,\) gdzie: \( s, t, u \in \rr \) mamy rozwiązanie ogólne układu \( U \) w postaci bardziej czytelnej:
\( \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \\ x_{6} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 4 +s -3t -4u \\ 1 -\frac{3}{2}t-2u \\ s \\ t \\ 0 \\ u \end{bmatrix} . \)
Podstawiając za wartość parametrów na przykład \( 0, \) otrzymamy jedno z rozwiązań bazowych układu \( U: (4, 1,0,0,0,0).\)
\( x_{1}-2x_{2}-x_{3}-2x_{5} = 2\)
\( x_{1}-x_{3}+3x_{4}+4x_{6}=4.\)
Macierzą układu \( U \) jest
\( \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 & 3 & -2 & 4 & 2 \\
1 & -2 & -1 & 0 & -2 &0 & 2\\
1 & 0 & -1 & 3 & 0 & 4 & 4 \end{bmatrix} \)
Sprowadzamy ją do zredukowanej postaci schodkowej elementarnymi operacjami na wierszach:
\( w_{1} \leftrightarrow w_{2} \)
\( \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 0 & -2 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 0 & 3 & -2 & 4 & 2\\
1 & 0 & -1 & 3 & 0 & 4 & 4 \end{bmatrix} \)
\( w_{3} - w_{1} \)
\( \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 0 & -2 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 0 & 3 & -2 & 4 & 2\\
0 & 2 & 0 & 3 & 2 & 4 & 2\end{bmatrix} \)
\( w_{3} - w_{2} \)
\( \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 0 & -2 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 0 & 3 & -2 & 4 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0\end{bmatrix} \)
\( w_{4}\cdot \frac{1}{4} \)
\( \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 0 & -2 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 0 & 3 & -2 & 4 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} \)
\( w_{1}+2w_{3}, \ \ w_{2}+2w_{3} \)
\( \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 0 & 3 & 0 & 4 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} \)
\( w_{1} +w_{2} \)
\( \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 3 & 0 & 4 & 4 \\
0 & 2 & 0 & 3 & 0 & 4 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} \)
\( w_{2}\cdot \frac{1}{2} \)
\( \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 3 & 0 & 4 & 4 \\
0 & 1 & 0 & \frac{3}{2} & 0 & 2 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix} \)
Otrzymana macierz jest w zredukowanej postaci schodkowej. Odpowiada jej układ równań
\( x_{1}-x_{3}+3x_{4} +4x_{6} = 4 \)
\( x_{2}+ \frac{3}{2}x_{4}+2x_{6} = 1\)
\( x_{5} = 0.\)
Czyli
\( x_{1} = 4 +x_{3}-3x_{4}+4x_{6} \)
\( x_{2} = 1 -\frac{3}{2}x_{4}-2x_{6} \)
\( x_{5} = 0.\)
Otrzymaliśmy rozwiązanie ogólne układu równań \( U,\) w którym \( x_{1}, x_{2}, x_{5} \) są zmiennymi zależnymi, a \( x_{4}, x_{6} \) zmiennymi niezależnymi (parametrami).
Oznaczając parametry odpowiednio literami \( x_{3} = s, \ \ x_{4} = t, \ \ x_{6} = u,\) gdzie: \( s, t, u \in \rr \) mamy rozwiązanie ogólne układu \( U \) w postaci bardziej czytelnej:
\( \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \\ x_{6} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 4 +s -3t -4u \\ 1 -\frac{3}{2}t-2u \\ s \\ t \\ 0 \\ u \end{bmatrix} . \)
Podstawiając za wartość parametrów na przykład \( 0, \) otrzymamy jedno z rozwiązań bazowych układu \( U: (4, 1,0,0,0,0).\)