Nierówność

[Pawm32]

Udowodnij, że dla \(x \ge 0\) zachodzi nierówność: \(e^x \ge 1+ \frac{x^3}{6} \). dochodzę do pochodnej, ale nie jestem w stanie znaleźć kiedy jest jakiego znaku i się zeruje, także raczej trzeba innej metody, a niezbyt wiem jakiej.

[janusz55]

Metoda nie wprost:

Zakładamy że

\( e^{x} \leq 1 + \frac{x^3}{6} , \)

i logarytmujemy obie strony nierówności logarytmem naturalnym:

\( x \leq \ln\left(1+\frac{x^3}{6} \right) \)


Sprzeczność

[Pawm32]

Metoda nie wprost:

Zakładamy że

\( e^{x} \leq 1 + \frac{x^3}{6} , \)

i logarytmujemy obie strony nierówności logarytmem naturalnym:

\( x \leq \ln\left(1+\frac{x^3}{6} \right) \)


Sprzeczność

a z czego wynika ta ostatnia nierówność, bo wydaje mi się, że to nie jest na tyle oczywiste i trzeba to jakoś udowodnić, a jak próbuję to też niezbyt widzę którędy.

[janusz55]

Logarytm przy podstawie większej od jedności z liczby (dodatniej) jest mniejszy od tej liczby.

[Jerry]

Uwaga:
\[\sim\left(e^x \ge 1+ \frac{x^3}{6}\right)\iff\left(e^x < 1+ \frac{x^3}{6}\right)\]
Pozdrawiam

[janusz55]

To jest prawda, bo można wyłączyć jeden przypadek \( x = 0 \), dla którego ta nierówność staje się równością i rozpatrując nierówność tylko dla \( x>0.\)