Zbadaj zbieżność szeregu

[Pawm32]

\(\sum_{n=1}^{+ \infty } \frac{n-1}{n^2+1} sin \frac{1}{n} \)

[Icanseepeace]

\( \frac{n-1}{n^2 + 1} \sin (\frac{1}{n}) \leq \frac{n-1}{n^2 + 1} \cdot \frac{1}{n} \leq \frac{n-1}{n^2} \cdot \frac{1}{n} \leq \frac{n}{n^2} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^2} \)
Ponieważ szereg \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) jest zbieżny to z kryterium porównawczego wynika zbieżność szeregu \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n-1}{n^2 + 1} \sin (\frac{1}{n}) \)