Oblicz objetosc bryly powstalych z obrotu figury Z wokół wskazanych osi

[Karolinka1231231]

Oblicz objetosc bryly powstalych z obrotu figury Z wokół wskazanych osi

\(Z: 0 \le x \le 1 ; 0 \le y \le x−x^2 ; x=2\)

Jak sie za to zabrać, jest na to jakiś wzór? Znam te wzory na obrót wokół osi ox i oy ale jak
je tu zastosowac?

[Jerry]

Jest kilka sposobów, np.:
Po zmianie układy współrzędnych, otrzymamy łuk paraboli \(\left(y-{1\over2}\right)^2={1\over4}-x\) obracający się dookoła osi \(ox\) ograniczony \(0\le x\le{1\over4}\)
A to podobno znasz...

Ale ja bym jednak skorzystał ze wzorku:
\[V=2\pi\cdot S\cdot d\]
gdzie \(S\) jest polem obracanej figury, \(d\) odległością środka ciężkości tej figury od osi obrotu (figura i oś obrotu leżą w jednej płaszczyźnie).

W danym przypadku:
\(S=\int\limits_0^1(x-x^2)dx,\ d={3\over2}\)


Pozdrawiam

[Karolinka1231231]

Mhm rozumiem dziekuje

[Karolinka1231231]

A moze Pan mi powiedziec jak zrobic takie zadanie?

\(0\le x \le π,\ 0 \le y \le \sin x,\ y=2\)
Nie wiem jak to przeksztalcic

[Jerry]

Po zmianie układu współrzędnych otrzymamy np.:
\[2-\sin x\le y\le 2\]
określone na przedziale \([0;\pi]\) i obracane dookoła osi \(ox\), czyli szukana objętość jest równa
\[V=\pi\int\limits_0^\pi\left[2^2-(2-\sin x)^2\right]dx\]
Pozdrawiam

PS.

\(V=\frac{16\pi-\pi^2}{2}\)