Korzystając z wzoru całkowego Cauchy’ego lub jego uogólnienia obliczyć całkę

[Springggg]

∮ [dz][/z^2 + 1]^2 , C : |z + i| = 1, C− zorientowana dodatnio

∮ [z^3 dz][/z^2+4] , C : |z − i| = 2, C− zorientowana ujemnie

Proszę o wytłumaczenie jak do takich zadań się wgl zabrać

[janusz55]

(1)
\( \oint \frac{1}{(z^2 +1)^2} dz\)

Twierdzenie A. Cauchy

Jeżeli funkcja \( f(z) \) jest holomorficzna w obszarze \( D \), to ma na tym obszarze pochodną każdego rzędu, przy czym

\( f^{(n)}(z_{0}) = \frac{n!}{2\pi i}\oint_{K} \frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}dz \ \ (*) \)

dla każdego \( n\in \nn \) i każdego \( z_{0}\in D, \) gdzie \( K \) oznacza dowolny okrąg o środku \( z_{0} \) zawarty w obszarze \( D.\)

Funkcję podcałkową \( g(z) = \frac{1}{(z^2 +1)^2} ,\) zgodnie ze wzorem całkowym przekształcamy do postaci \( g(z)=\frac{f(z)}{(z-i)^2}, \) gdzie \( f(z) = \frac{1}{(z+i)^2},\)

bo mianownik \( (z-i)^2\cdot (z+i)^2 = [(z-i)(z+i)]^2 = (z^2 -i^2)^2 = (z^2+1)^2\)

Funkcja \( f(z) = \frac{1}{(z+i)^2} \) jest holomorficzna na płaszczyźnie \( \zz \) z wyjątkiem punktu \( -i \)

Istnieje więc obzar \( D \subset \zz \) taki, że funkcja \( f(z) \) jest holomorficzna oraz okrąg \( K_{+}(-i, 1) \) zawiera się ze swym wnętrzem w \( D.\)

Obszarem takim może być na przykład półpłaszczyzna \( \Im(z) > -2.\)

Na podstawie wzoru \( (*) \):

\( \oint_{K_{+}(-i, 1)} \frac{1}{(z^2+1)^2}dz = \oint_{K(-i, 1)} \frac{f(z)}{(z-i)^2}dz = \frac{2\pi i}{1!}f'(i). \)

\( f'(z) = [(z+i)^{-2}]' = \frac{-2}{(z+i)^3}. \)

\( f'(i) = \frac{-2}{(i +i)^3} = \frac{-2}{(2i)^3} = \frac{-2}{8i^3} = \frac{-2}{-8i}= \frac{1}{4i}.\)

Stąd

\(\oint_{K_{+}(-i, 1)} \frac{1}{(z^2+1)^2} dz = \frac{2\pi i}{1!}\cdot \frac{1}{4i} = \frac{\pi}{2}.\)

(2)
Wskazówka:
Mianownik funkcji podcałkowej przedstawiamy w postaci \( z^2 + 4 = (z-2i)(z+2i).\)

Proszę poprawić zapis zadań w edytorze \( \LaTeX. \)

[Springggg]

Dziękuje za odpowiedź. Nie potrafię jednak zrozumieć czemu w liczniku f(z) jest (z+1)^2 a nie (z-1)^2

Co do drugiego to koło miało by środek w punkcie (0,0) i jest o promieniu 2? I wtedy jak określić f(z)?

[janusz55]

Słuszna uwaga, zamieniamy (+) z (-), bo całkujemy po okręgu \( C_{+} = |z+i| = |z-(-i)|=1.\)

[janusz55]

(2)
Proszę napisać dokładnie postać całki i okręgu po którym całkujemy.[/tex]

[Springggg]

(2)
Proszę napisać dokładnie postać całki i okręgu po którym całkujemy.[/tex]

∮ \frac{z^3 dz}{z^2+4} C : |z − i| = 2, C− zorientowana ujemnie Jak się za ten podpunkt zabrać? Czy obrzar całkowania będzie się zawierał w kole o środku (0,-1) i promieniu 2? i jak powinna wyglądać f(z)?

[janusz55]

Mianownik funkcji podcałkowej zapisujemyw postaci iloczynu \( z^2 + 4 =(z-2i)(z+2i)\)

Funkcję \( \frac{1}{(z-2i)(z+2i)} \) rozkładamy na sumę ułamków prostych:

\( \frac{1}{(z-2i)(z+2i)} =\frac{A}{z-2i} + \frac{B}{x+2i}\) - obliczając liczby zespolone \( A, B.\)

Przedstawiamy całkę w postaci sumy dwóch całek:

\( \oint_{-K(i, 2)} \frac{{z^3 A}}{x-2i} dz + \oint_{-K(i, 2)} \frac{z_{3} B}{x-2i} dz = \ \ ...\)

Bieguny funkcji podcałkowych \( -2i, \ \ 2i \) należą do \( C_{-}: |z- i|=2 \)

Stosujemy uogólniony wzór Cauchy z funkcją \( f(z)= z^3.\)

Nie zapominamy o postawieniu minusa przed całką.

Proszę nauczyć się pisać w \( \LaTeX.\)