Mam rozwiązać równanie (na ćwiczeniach było to wytłumaczone na tyle powierzchownie, że z takim przykładem się wcześniej nie spotkałam i nie wiem jak się za niego zabrać, mimo, że pewnie jest prosty). Wiem, jak obliczyć złożenie dwóch permutacji, ale w tym równaniu po lewej stronie stoi x. Gdyby był tam zwykły znak iloczynu, to przeniosłabym tą macierz z lewej strony na prawą w potędze -1 i obliczyła. Ale w tym przypadku nie wiem, jak to równanie się przekształca.
6. Niech \(x\in S_5\). Rozwiązać równanie:
\[ x\circ \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 4 & 2 & 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 1 & 4 & 2 \end{matrix} \right) \]
i zapisać permutację \(x\) jako złożenie transpozycji.
Rozwiązać równanie w grupie permutacji
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1920
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 459 razy
Re: Rozwiązać równanie w grupie permutacji
Proszę rozwiązać następujące równanie:
\( x\circ \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 4 & 2 & 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 1 & 4 & 2 \end{matrix} \right) \) w grupie permutacji \( ( S_{5}, \ \ \circ). \)
Równanie składamy (mnożymy) prawostronnie przez permutację odwrotną \( \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 4 & 2 & 3 \end{matrix} \right) ^{-1} \)
\( x\circ \left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 4 & 2 & 3 \end{matrix} \right) \circ \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 4 & 2 & 3 \end{matrix} \right) ^{-1} = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 1 & 4 & 2 \end{matrix} \right) \circ \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 4 & 2 & 3 \end{matrix} \right) ^{-1}.\)
Lewa strona równania w wyniku złożenia danej permutacji z jej permutacją odwrotnotną daje permutację identycznościową.
\( x = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 1 & 4 & 2 \end{matrix} \right) \circ \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 4 & 2 & 3 \end{matrix} \right) ^{-1}.\)
Znajdujemy permutację odwrotną:
\( 1 \rightarrow 1, \ \ 2\rightarrow 4, \ \ 3 \rightarrow 5, \ \ 4 \rightarrow 3, \ \ 5 \rightarrow 2 \)
\( \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 4 & 2& 3 \end{matrix} \right) ^{-1} = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & 5 & 3 & 2 \end{matrix} \right). \)
\( x = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 1 & 4 & 2 \end{matrix} \right) \circ \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 4 & 3 & 2 \end{matrix} \right) ^{-1} = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 1 & 4 & 2 \end{matrix} \right) \circ \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 4 & 3 & 2 \end{matrix} \right) \)
Wykonujemy złożenie (mnożenie) permutacji występujących po prawej stronie równania
\( 1 \rightarrow 1 \wedge 1 \rightarrow 3, \ \ 2 \rightarrow 5 \wedge 5 \rightarrow 2 , \ \ 3 \rightarrow 4 \wedge 4 \rightarrow 4, \ \ 4 \rightarrow 3 \wedge 3 \rightarrow 1, \ \ 5 \rightarrow, 2 \wedge 2 \rightarrow 5. \)
\( x = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & 4 & 1 & 5 \end{matrix} \right).\)
Rozkładamy permutację \( x \) na iloczyn cykli.
\(1 \rightarrow 3,\ \ 3 \rightarrow 4, \ \ 4 \rightarrow 1. \)
" Kółko się zamknęło", więc mamy pierwszy cykl \( (1, 3, 4). \)
Elementem, który nie wystąpił w otrzymanym cyklu jest na przykład \( 2.\)
\( 2 \rightarrow 2, \) element ten nie tworzy cyklu więc go opuszczamy.
Elementem, który się do tej pory jeszcze nie pojawił jest \( 5,\) ale \( 5 \rightarrow 5 \) też nie tworzy cyklu, więc go opuszczamy.
Powyższe rozważania doprowadziły nas do rozkładu permutacji \( x \) na jedyny cykl
\( x = (1, 3, 4). \)
Rozkładamy otrzymany cykl na transpozycje:
\( x = (1, 4)\circ (1, 3).\)
\( x\circ \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 4 & 2 & 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 1 & 4 & 2 \end{matrix} \right) \) w grupie permutacji \( ( S_{5}, \ \ \circ). \)
Równanie składamy (mnożymy) prawostronnie przez permutację odwrotną \( \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 4 & 2 & 3 \end{matrix} \right) ^{-1} \)
\( x\circ \left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 4 & 2 & 3 \end{matrix} \right) \circ \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 4 & 2 & 3 \end{matrix} \right) ^{-1} = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 1 & 4 & 2 \end{matrix} \right) \circ \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 4 & 2 & 3 \end{matrix} \right) ^{-1}.\)
Lewa strona równania w wyniku złożenia danej permutacji z jej permutacją odwrotnotną daje permutację identycznościową.
\( x = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 1 & 4 & 2 \end{matrix} \right) \circ \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 4 & 2 & 3 \end{matrix} \right) ^{-1}.\)
Znajdujemy permutację odwrotną:
\( 1 \rightarrow 1, \ \ 2\rightarrow 4, \ \ 3 \rightarrow 5, \ \ 4 \rightarrow 3, \ \ 5 \rightarrow 2 \)
\( \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 4 & 2& 3 \end{matrix} \right) ^{-1} = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & 5 & 3 & 2 \end{matrix} \right). \)
\( x = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 1 & 4 & 2 \end{matrix} \right) \circ \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 4 & 3 & 2 \end{matrix} \right) ^{-1} = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 1 & 4 & 2 \end{matrix} \right) \circ \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 4 & 3 & 2 \end{matrix} \right) \)
Wykonujemy złożenie (mnożenie) permutacji występujących po prawej stronie równania
\( 1 \rightarrow 1 \wedge 1 \rightarrow 3, \ \ 2 \rightarrow 5 \wedge 5 \rightarrow 2 , \ \ 3 \rightarrow 4 \wedge 4 \rightarrow 4, \ \ 4 \rightarrow 3 \wedge 3 \rightarrow 1, \ \ 5 \rightarrow, 2 \wedge 2 \rightarrow 5. \)
\( x = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & 4 & 1 & 5 \end{matrix} \right).\)
Rozkładamy permutację \( x \) na iloczyn cykli.
\(1 \rightarrow 3,\ \ 3 \rightarrow 4, \ \ 4 \rightarrow 1. \)
" Kółko się zamknęło", więc mamy pierwszy cykl \( (1, 3, 4). \)
Elementem, który nie wystąpił w otrzymanym cyklu jest na przykład \( 2.\)
\( 2 \rightarrow 2, \) element ten nie tworzy cyklu więc go opuszczamy.
Elementem, który się do tej pory jeszcze nie pojawił jest \( 5,\) ale \( 5 \rightarrow 5 \) też nie tworzy cyklu, więc go opuszczamy.
Powyższe rozważania doprowadziły nas do rozkładu permutacji \( x \) na jedyny cykl
\( x = (1, 3, 4). \)
Rozkładamy otrzymany cykl na transpozycje:
\( x = (1, 4)\circ (1, 3).\)
Re: Rozwiązać równanie w grupie permutacji
Jakie są kluczowe etapy i metody rozwiązywania równań permutacyjnych w grupie symetrycznej S5, i jak można efektywnie wykorzystać właściwości permutacji odwrotnych oraz rozkład na cykle w procesie rozwiązywania?
Re: Rozwiązać równanie w grupie permutacji
Jest to całkowicie dobra, spójna notacja. To, że każdą permutację można rozłożyć na iloczyn rozłącznych cykli, nie oznacza, że nie można jej zapisać jako iloczyn nakładających się cykli.