optymalizacja zbior Stankiewicza

[zuzas]

do rzeki o szerokosci 27 m wpada pod katem prostym kanal szerokosci 8m. jaka jest najwieksza dlugosc sztuki drewna, ktora moze wplynac z kanalu do rzeki?
prosze o pomoc

[Jerry]

Można ten problem rozstrzygnąć na kilka sposobów, np.:

1. Niech \(\alpha\) będzie kątem ostrym pomiędzy brzegiem kanału a "sztuką drewna". Wtedy maksymalna jej długość określa wzór:
   \[d(\alpha)={8\over\sin\alpha}+{27\over\cos\alpha}\]
2. Dla prostej \(y=m(x-27)+8\), gdzie \(m<0\) można określić odległość pomiędzy punktami przecięcia z osiami układu współrzędnych w zależności od \(m\) i ją zoptymalizować.

Pozdrawiam

PS.

\(d_\max=13\sqrt{13}\approx46,872\) dla \(m=-{2\over3}\)

[janusz55]

Do rzeki o długości \( a \ \ m \) wpada pod kątem prostym kanał szerokości \( b \ \ m \) Jaka największa długość drewna \( l \ \ m \) może wpłynąć z kanału do rzeki?

Jeżeli przez \( \phi \) oznaczymy kąt między kłodą drewna a kanałem, to długość

\( l(\phi) = \frac{a}{\cos(\phi)} + \frac{b}{\sin(\phi)}. \)

Znajdujemy miarę kąta \( \phi^{*} \) , dla której funkcja \( l(\phi) \) osiąga minimum lokalne.

Maksymalna długość kłody drewna wynosi:

\( l^{*} = l(\phi^{*}) = \frac{a}{\sin(\phi^{*})} + \frac{b}{\cos(\phi^{*})}.\)

[janusz55]

\( l(\phi) = \frac{a}{\sin(\phi)} + \frac{b}{\cos(\phi)}.\)

Znajdziemy minimum lokalne funkcji \( l(\phi). \)

\( l'(\phi) = \frac{b\cos(\phi)}{sin^(\phi)} - \frac{a\sin(\phi)}{\cos^2(\phi)} \)

\( l'(\phi) = 0 \leftrightarrow b\cos^3(\phi) -a\sin^3(\phi) = 0 \leftrightarrow \tg^3(\phi) = 0 \leftrightarrow \phi^{*} = \arctg\sqrt[3]{\frac{b}{a}}.\)

Jest to jedyny punkt, w którym funkcja \( l(\phi) \) może mieć maksimum lokalne.

Na znak pochodnej \( l'(\phi) \) ma wpływ znak wyrażenia \( w(\phi) = b\cos^3(\phi) - a\sin^3(\phi),\) którego wartość \( w(0) = b>0 \) i które w przedziale \( (0, \phi^{*}) \) przyjmuje wartości dodatnie zaś w przedziale \( (\phi^{*}, \infty)\) wartości ujemne.

Rzeczywiście w punkcie \( \phi(^{*}) = \arctg\sqrt[3]{\frac{b}{a}} \) występuje maksimum lokalne funkcji \( l(\phi).\)

Zajdziemy wartość funkcji \( l(\phi) \) dla argumentu \( \phi^{*}.\)

W tym celu skorzystamy z tożsamości trygonometrycznych: \( \sin^2(\phi) = \frac{\tg^2(\phi)}{1 +tg^2(\phi)}, \ \ \cos^2(\phi) = \frac{1}{1 +\tg^2(\phi)}.\)

Kolejno otrzymujemy

\( \tg(\phi^{*}) =\tg\left(\arctg \sqrt[3]{\frac{b}{a}}\right) = \sqrt[3]{\frac{b}{a}}, \ \ \tg^2(\phi^{*}) =\tg^2\left(\arctg \sqrt[3]{\frac{b}{a}}\right) =\left( \sqrt[3]{\frac{b}{a}}\right)^2 = \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{2}{3}}.\)

\( l(\phi^{*}) = \frac{b\sqrt{1 + \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{2}{3}}}}{\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{1}{3}}} + \frac{a\sqrt{1 +\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{2}{3}}}}{1} = \)
\( = a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{2}{3}} \sqrt{\frac{a^{\frac{2}{3}}+ b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}}}+ a\sqrt{\frac{a^{\frac{2}{3}}+ b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}}} = b^{\frac{2}{3}}\sqrt{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} + a^{\frac{2}{3}}\sqrt{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} = \sqrt{a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}}\left(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\right) = \left(a^{\frac{2}{3}} +b^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}.\)

\(l(\phi^{*}) = \left(a^{\frac{2}{3}} +b^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}.\)

Podstawiając dane z zadania Pani zuzas: szerokość rzeki \( a = 27 \ \ m, \) szerokość kanału \( b = 8 \ \ m, \)

\( l(\phi^{*}) = \left( 27^{\frac{2}{3}} \ \ m + 8^{\frac{2}{3}} \ \ m \right)^{\frac{3}{2}} = ( 9 \ \ m + 4 m )^{\frac{3}{2}} = 13^{\frac{3}{2}} \ \ m = 13\sqrt{13} \ \ m \approx 47 \ \ m.\)

Odpowiedź:
Najdłuższa długość kłody drewna, która może wpłynąć do kanału bez zanurzenia jest równa około \( 47 \) metrów.