Dynamika (równia pochyła)

[MFifa]

Ciało A z rysunku (https://imgur.com/a/GrdEoB2) ma ciężar 102N, a ciało B - ciężar 32N. Współczynniki tarcia między ciałem A a równią wynoszą:
tarcia statycznego - 0,56, tarcia kinetycznego - 0,25.
Kąt nachylenia równi względem poziomu wynosi 40 stopni. Wybierz oś x skierowaną w górę wzdłuż równi. Wyznacz przyspieszenie A, zapisując je za pomocą wektorów jednostkowych jeśli ciało A a) początkowo jest w spoczynku b) porusza się w górę równi c) porusza się w dół równi.

[janusz55]

Układ równi pochyłej o kącie nachylenia względem poziomu z ciałem \( A \) o ciężarze \( |\vec{Q}_{A}| = 102 N. \)

Ciało \( B \) o ciężarze \( |\vec Q_{B}|= 32 N \) połączone jest z ciałem \( A \) za pomocą przerzuconej przez blok nierozciągliwej nici, której ciężar jak i ciężar bloczka pominięto.

Przyjmując układ współrzędnych prostokątnych \( (\vec{i}, \vec{j}), \) możemy napisać układ równań.

Oba ciała działają na siebie siłami napięcia nici \( \vec{N}_{A}, \vec{N}_{B} \) równymi co do wartościami lecz o różnych kierunki.

a)
Ciało \( A \) na równi spoczywa - wypadkowa sił działających na każde z ciał jest równa zeru.

Na ciało A działa: ciężar ciała \( \vec{Q_{A}}\), reakcja podłoża równi \( \vec{R} \) - ciało naciska na podłoże równi siłą \( \vec{F}_{n}\)siła tarcia statycznego \( \vec{T} = f\cdot \vec{Q_{B}} \) i siła naciągu nici \(\vec{N_{A}} \)

Na ciało \( B \) działa: ciężar \( \vec{Q_{B}} \) i siła naciągu nici \( \vec{N_{B}}. \)

\( A: \ \ N_{A} - Q_{A}\sin(\alpha) - f\cdot Q_{A}\cos(\alpha) = F_{A} = m_{A}\cdot a = \frac{Q}{g} \cdot a = 0 \)

\( B: \ \ Q_{B} - N_{B} = F_{B} = m_{B}\cdot a = \frac{Q_{B}}{g}\cdot a = 0. \)

gdzie:

\( N_{A}= N_{B} = N.\)

Wartość wektora przyśpieszenia ciała \( A \) jest równa \( a = 0.\)

b)
Ciało \( A \) porusza wzdłuż równi "w górę " \( N> F_{A} \) i \( F_{B} > N \)

Dynamiczne równania ruchu ciał:

\( A: \ \ N - Q_{A}\sin(\alpha) - k\cdot Q_{A}\cos(\alpha) = \frac{Q_{A}}{g}\cdot a, \)

\( B: \ \ Q_{B} - N = \frac{Q_{B}}{g} \cdot a. \)

Dodając równania stronami, wyznaczamy wartość wektora przyśpieszenia ciała \( A \) i ciała \( B. \)

\( Q{B} - Q_{A}\sin(\alpha) - k\cdot Q_{A}\cos(\alpha) = \frac{a}{g}(Q_{A} + Q_{B})\)

\( a = \frac{g[Q_{B} -Q_{A}(\sin(\alpha -k\cos(\alpha))]}{Q_{A}+Q_{B}}.\)

lub

\(\vec{a} = \frac{g \vec{j}[Q_{B}\vec{j} -Q_{A}(\sin(\alpha -k\cos(\alpha))\vec{j}]}{\vec{j}(Q_{A}+Q_{B})}.\)

c)
Ciało \( A \) porusza się wzdłuż równi " w dół".
Podobnie zapisujemy dynamiczne równania ruchu dla obu ciał i wyznaczamy wartość wektora przyśpieszenia \( a. \)

[korki_fizyka]

Przy tych danych układ sam nie ruszy z miejsca. Wystarczy sprawdzić, czy

\(Q_B >Q_A(\sin\alpha +\mu\cos\alpha)\)

lub

\(Q_A\sin\alpha >Q_B+\mu Q_A\cos\alpha\)

w obu przypadkach dostaniemy sprzeczność.,