szereg taylora reszta lagrange'a

[zuzas]

oblicz \(\dfrac{1}{e^{1\over4}}\) z błędem bezwzględnym mniejszym od \(0.01\)
Bardzo proszę o pomoc

[janusz55]

Stosujemy szereg Taylora-Maclaurina dla funkcji \( f(x) = e^{x}.\)

Chcemy oszacować \( f \left(-\frac{1}{4} \right).\)

Dla dowolnego \( n\in \nn \) mamy \( f'(x) = f^{(n)}(x) = e^{x} \) oraz \( f(0) = f^{(n)}(0) = 1.\)

Zatem

\( e^{x} = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f"(0)}{2!}x^2 + \ \ ... + \ \ \frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}x^{n-1} + R_{n}, \)

gdzie

\( R_{n} = \frac{f^{(n)}(c)}{n!}x^{n} = \frac{e^{c}}{n!} x^{n} \) dla pewnego \( c\in (x; \ \ 0).\)

Dla \( x = -\frac{1}{4} \)

mamy

\( \frac{1}{\sqrt[4]{e}} = 1 -\frac{1}{4} + \frac{1}{2!}\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \ \ ... + \ \ + \frac{1}{(n-1)!}\left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1} + R_{n},\)

gdzie

\( R_{n} = \frac{e^{c}}{n!}\left(-\frac{1}{4}\right)^{n} \) dla pewnego \( c\in \left[-\frac{1}{4}, 0\right].\)

Skorzystamy z tego przybliżonego wzoru z takim naturalnym \( n, \) dla którego \( |R_{n}|\leq 10^{-3}.\)

\( |R_{n}| = \frac{e^{c}} {n!}\left(\frac{1}{4}\right)^{n}, \ \ c\in\left(0, \frac{1}{4}\right), \)

\( e < 3 < 4.\)

\( |R_{n}| \leq \frac{4}{4^{n} n!} \leq \frac{1}{4^{n-1} n!}. \)

Dla \( n=2, \ \ |R_{2}| \leq \frac{1}{8}.\)

Dla \( n=3, \ \ |R_{3}|\leq \frac{1}{96}.\)

Dla \( n=4, \ \ |R_{4}|\leq \frac{1}{1536}\leq 10^{-3}.\)

[zuzas]

Dlaczego bierze Pan resztę <=0.001 skoro błąd bezwzględny? ma być mniejszy niż 0.01, czy możemy zaokrąglić e do 3?

[janusz55]

Przyjąłem \( 4 \), bo w reszcie według Lagrange'a szeregu Maclaurina występuje \( \left(\frac{1}{4}\right)^{n}. \)

Przyjęcie \( 3 \) raczej nie, bo nie występuje potęga \( \left(\frac{1}{3}\right)^{n}.\)

Dokładność mniejsza od \( \varepsilon = 0,01 \) nie zmienia rzędu reszty Lagrange'a \( n=4.\)