Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania
Zadanie 8
Długość stopy dziewczynek w określonym wieku podlega rozkładowi normalnemu o średniej m = 14 cm oraz odchyleniu standardowym σ = 0,8 cm. W fabryce obuwia przewiduje się wyprodukowanie dla tego segmentu klientek 1000 par butów określonego rodzaju o numeracji (w cm): 11,5; 12; 12,5; 13; 13,5; 14; 14,5; 15; 15,5; 16; 16,5. Określ liczbę par obuwia według numeracji zgodnie z rozkładem normalnym.
Pomocy - statystyka matematyczna
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1551
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 409 razy
Re: Pomocy - statystyka matematyczna
Tabela:
\( \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
x_{i} \ \ [cm] & 11,5 & 12,0 & 12,5 & 13,0 & 13,5 & 14,0 & 14,5 & 15,0 &15,5 & 16,0 &16,5 \\ \hline
\end{array} \)
\( X_{i} \sim \mathcal{N}( 14 \ \ cm, \ \ 0,8 \ \ cm), \ \ i = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11.\)
Obliczamy średnią długość stóp:
\( m = \frac{1}{11}(11,5 + 12,0 + 12,5 +13,0 + 13,5 +14,0 +14,5 +15,0 + 15,5 +16,0 +16,5) \ \ cm = 14,0 \ \ cm.\)
Program R
Obliczamy wariancję długości stóp:
\( s^2 = \frac{1}{11}[(11,5 -14,0)^2 + (12,0 -14,0)^2 + (12,5 -14,0)^2 + (13,0 -14,0)^2 + (13,5 -14,0)^2 + (14,0-14,0)^2 + (14,5 -14,0)^2+ \)
\((15,0-14,5)^2 + (15,5 -14,0)^2 + (16,0 - 14,0)^2 + (16,5 -14,0)^2] \approx 2,7 \ \ cm^2 \)
Program R
Obliczamy odchylenie standardowe długości stóp
\( s = \sqrt{s^2} = \sqrt{2,75} \approx 1,7 \ \ cm.\)
Program R
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia, że zmienna losowa \( X_{i} \) przyjmuje wartości z przedziału:
\( X_{i} \in [ m-s ; \ \ m+s] = [ 14,0\ \ cm - 1, 7 \ \ cm ; \ \ 14,0 + 1, 7 \ \ cm ] = [12, 3 \ \ cm ; \ \ 15, 7 \ \ cm] \)
\( p_{i} = P(12,3 \leq X_{i} \leq 15,7) = P\left( \frac{12,3 - 14,0}{0,8} \leq Z_{i} \leq \frac{15,7 -14}{0,8}\right) = P\left( -\frac{1,7}{0,8} \leq Z_{i}\leq \frac{1,7}{0,8} \right) = P(Z_{i}\leq 2,125) - P(Z_{i}\geq -2,125) =\)
\( P(Z_{i}\leq 2,125) - 1 + P(Z_{i}\leq 2,125) = 2P(Z_{i}\leq 2,125) -1 = 2\phi(2,125) - 1 \approx 0,97. \)
Program R
Obliczamy liczbę par obuwia \( n \) zgodnie z rozkładem normalnym.
W tym celu korzystamy z CTG dla sumy zmiennych losowych:
\( S_{1000} = \sum_{i=1}^{1000}X_{i}. \)
\( P(S_{1000} \geq 1000 ) \geq 0,97, \)
\( P(S_{1000}\leq 1000) \leq 0,03.\)
\( P\left (\frac{S_{1000} - n\cdot 0,97}{0.8\cdot \sqrt{n}}\leq \frac{1000 - n\cdot 0,97}{0,8\sqrt{n}}\right) \leq 0,03.\)
Z własności dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego \( \mathcal{N}(0,1): \)
\( \phi\left(\frac{1000 - n\cdot 0,97}{0,8\cdot\sqrt{n}} \right) \leq \phi(-1,88),\)
Program R
Stąd
\( \frac{1000 - n\cdot 0,97}{0,8\cdot\sqrt{n}} \leq -1,88, \)
\( 0,97 n -1,504\sqrt{n} -1000 \geq 0, \)
\( \sqrt{n} = x, \ \ x\in \nn. \)
\( 0,97x^2 -1.504x -1000 \geq 0,\)
\( x \geq 33.\)
\( n \geq 33^2 = 1089.\)
\( \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
x_{i} \ \ [cm] & 11,5 & 12,0 & 12,5 & 13,0 & 13,5 & 14,0 & 14,5 & 15,0 &15,5 & 16,0 &16,5 \\ \hline
\end{array} \)
\( X_{i} \sim \mathcal{N}( 14 \ \ cm, \ \ 0,8 \ \ cm), \ \ i = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11.\)
Obliczamy średnią długość stóp:
\( m = \frac{1}{11}(11,5 + 12,0 + 12,5 +13,0 + 13,5 +14,0 +14,5 +15,0 + 15,5 +16,0 +16,5) \ \ cm = 14,0 \ \ cm.\)
Program R
Kod: Zaznacz cały
stopa<-c(11.5,12.0,12.5,13.0,13.5,14.0,14.5,15.0,15.5,16.0,16.5)
> m = mean(stopa)
> m
[1] 14
\( s^2 = \frac{1}{11}[(11,5 -14,0)^2 + (12,0 -14,0)^2 + (12,5 -14,0)^2 + (13,0 -14,0)^2 + (13,5 -14,0)^2 + (14,0-14,0)^2 + (14,5 -14,0)^2+ \)
\((15,0-14,5)^2 + (15,5 -14,0)^2 + (16,0 - 14,0)^2 + (16,5 -14,0)^2] \approx 2,7 \ \ cm^2 \)
Program R
Kod: Zaznacz cały
> s2 = var(stopa)
> s2
[1] 2.75
\( s = \sqrt{s^2} = \sqrt{2,75} \approx 1,7 \ \ cm.\)
Program R
Kod: Zaznacz cały
> s = sd(stopa)
> s
[1] 1.658312
\( X_{i} \in [ m-s ; \ \ m+s] = [ 14,0\ \ cm - 1, 7 \ \ cm ; \ \ 14,0 + 1, 7 \ \ cm ] = [12, 3 \ \ cm ; \ \ 15, 7 \ \ cm] \)
\( p_{i} = P(12,3 \leq X_{i} \leq 15,7) = P\left( \frac{12,3 - 14,0}{0,8} \leq Z_{i} \leq \frac{15,7 -14}{0,8}\right) = P\left( -\frac{1,7}{0,8} \leq Z_{i}\leq \frac{1,7}{0,8} \right) = P(Z_{i}\leq 2,125) - P(Z_{i}\geq -2,125) =\)
\( P(Z_{i}\leq 2,125) - 1 + P(Z_{i}\leq 2,125) = 2P(Z_{i}\leq 2,125) -1 = 2\phi(2,125) - 1 \approx 0,97. \)
Program R
Kod: Zaznacz cały
> pi = 2*pnorm(2.125)-1
> pi
[1] 0.9664134
W tym celu korzystamy z CTG dla sumy zmiennych losowych:
\( S_{1000} = \sum_{i=1}^{1000}X_{i}. \)
\( P(S_{1000} \geq 1000 ) \geq 0,97, \)
\( P(S_{1000}\leq 1000) \leq 0,03.\)
\( P\left (\frac{S_{1000} - n\cdot 0,97}{0.8\cdot \sqrt{n}}\leq \frac{1000 - n\cdot 0,97}{0,8\sqrt{n}}\right) \leq 0,03.\)
Z własności dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego \( \mathcal{N}(0,1): \)
\( \phi\left(\frac{1000 - n\cdot 0,97}{0,8\cdot\sqrt{n}} \right) \leq \phi(-1,88),\)
Program R
Kod: Zaznacz cały
> qnorm(0.03)
[1] -1.880794
\( \frac{1000 - n\cdot 0,97}{0,8\cdot\sqrt{n}} \leq -1,88, \)
\( 0,97 n -1,504\sqrt{n} -1000 \geq 0, \)
\( \sqrt{n} = x, \ \ x\in \nn. \)
\( 0,97x^2 -1.504x -1000 \geq 0,\)
\( x \geq 33.\)
\( n \geq 33^2 = 1089.\)