Wykaż zbieżność ciągów

[Lilcia]

Hej, mam pytanie do zadania, na podstawie twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym wykaż zbieżność ciągu:

\(\left(1 + {1\over2}\right)\cdot … \cdot\left(1+ {1\over2^n}\right)\)

Monotoniczność łatwo określić, ale jak wyznaczyć granicę?

[Jerry]

Ograniczoność z nierówności pomiędzy średnią geometryczną i arytmetyczną:
\[\sqrt[n]{\left(1 + {1\over2}\right)\cdot\ldots \cdot\left(1+ {1\over2^n}\right)}\le\frac{\left(1 + {1\over2}\right)+ \ldots+\left(1+ {1\over2^n}\right)}{n}\\
\sqrt[n]{\left(1 + {1\over2}\right)\cdot\ldots \cdot\left(1+ {1\over2^n}\right)}\le\frac{n+\left({1\over2}+{1\over4}+\ldots+{1\over2^n}\right)}{n}\qquad|^n\\
\left(1 + {1\over2}\right)\cdot\ldots \cdot\left(1+ {1\over2^n}\right)\le\left(\frac{n+\left({1\over2}+{1\over4}+\ldots+{1\over2^n}\right)}{n}\right)^n\le\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\le e\]
skąd sugestia granicy.

Pozdrawiam
PS. Poczytaj, proszę, o kodzie \(\LaTeX\)

[janusz55]

\( a_{n} = \left(1 + \frac{1}{2}\right)\cdot \left(1 + \frac{1}{2^2} \right) \cdot \ \ ... \ \ \cdot \left(1 + \frac{1}{2^{n}}\right) \)

Monotoniczność

Z ilorazu dwóch kolejnych wyrazów ciągu:

\( \frac{a_{n+1}}{a_{n}}= \frac{\left(1 + \frac{1}{2}\right)\cdot \left(1 + \frac{1}{2^2} \right) \cdot \ \ ... \ \ \cdot \left(1 + \frac{1}{2^{n}}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2^{n+1}}\right)}{\left(1 + \frac{1}{2}\right)\cdot \left(1 +\frac{1}{2^2} \right) \cdot \ \ ... \ \ \cdot \left(1+ \frac{1}{2^{n}}\right)}= 1 + \frac{1}{2^{n+1}} > 1\)

Ciąg \( (a_{n}) \) jest rosnący.

Ograniczoność ciągu wynika z nierówności:

\(\ln(a_{n}) = \ln \left(1 + \frac{1}{2}\right)\cdot \left(1 + \frac{1}{2^2} \right) \cdot \ \ ... \ \ \cdot \left(1 + \frac{1}{2^{n}}\right) =\ln \left(1 + \frac{1}{2}\right) + \ln \left(1 +\frac{1}{2^2} \right) + \ \ ... +\ \ \ln \left(1 + \frac{1}{2^{n}}\right)< \frac{1}{2} +\frac{1}{4}+ \ \ ... + \ \ \frac{1}{2^{n}}< \)
\( < \frac{1}{2} +\frac{1}{4}+ \ \ ... + \ \ \frac{1}{2^{n}}+ ... = \frac{1}{2}\frac{1}{1- \frac{1}{2}} = 1, \)

co oznacza, że \( a_{n}< e.\)

Granicą tego ciągu jest liczba Leonarda Eulera \( e.\)

[Icanseepeace]

\( (1 + \frac{1}{2})(1 + \frac{1}{4})\ldots(1 + \frac{1}{2^n}) = \frac{15}{8} \cdot [ (1 + \frac{1}{8}) + \ldots + (1 + \frac{1}{2^n})] \leq
\frac{15}{8} \cdot (1 + \frac{\frac{1}{8} + \ldots + \frac{1}{2^n}}{n-2})^{n-2} \leq \frac{15}{8} (1 + \frac{1}{4(n-2)})^{n-2} \leq \frac{15}{8} \cdot \sqrt[4]{e}\)

[Jerry]

Icanseepeace: rozumiem, że chciałeś napisać ciąg jest zbieżny a granica nieokreślona?

Pozdrawiam

[Icanseepeace]

Icanseepeace: rozumiem, że chciałeś napisać ciąg jest zbieżny a granica nieokreślona?

Ciąg jest zbieżny i granica również jest znana: \( \frac{(-1 ; \frac{1}{2})_{\infty}}{2} \)
Samo ograniczenie ciągu od góry przez pewną liczbę nie powinno być używane do stwierdzenia (nie mylić z sugerowaniem), że liczba będąca ograniczeniem jest faktycznie granicą ciągu.
Edit:
Warto zapytać czy to zadanie miało na celu znalezienie granicy czy tylko pokazanie zbieżności?