szukany kąt prostokąta w prostokącie.

[befamo]

Dzień dobry,
poszukuję rozwiązania zadania z obrazka.

Obie figury to prostokąty.
Dane: a, b, stosunek p:q
Szukane: α

[Jerry]

1. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku, z szybkimi wnioskami,:

   

   gdzie \(a,\, b,\, p,\, q,\, x,\ \alpha,\ {q\over p}=m\) są dobrze określone!
2. \(\Delta ALK\equiv \Delta MCN\, (KBK)\)\[ |AL|=|NC|=a-x\tg\alpha\]
3. \(\Delta ALK\sim\Delta KND\, (kkk)\)
   \[\dfrac{b-x}{x\tg\alpha}=m\\\ldots\\ x=\dfrac{b}{1+m\tg\alpha}\]
4. Z \(\Delta ALK\):
   \[\tg\alpha=\dfrac{b-x}{a-x\tg\alpha}\]
5. Wobec 3. i 4.:
   \[\tg\alpha=\dfrac{b-\frac{b}{1+m\tg\alpha}}{a-\frac{b}{1+m\tg\alpha}\cdot\tg\alpha}\\
   \tg\alpha=\dfrac{bm\tg\alpha}{a+am\tg\alpha-b\tg\alpha}\quad |:\tg\alpha\\
   1=\dfrac{bm}{a+am\tg\alpha-b\tg\alpha}\\
   a+am\tg\alpha-b\tg\alpha=bm\\
   \tg\alpha=\dfrac{bm-a}{am-b}\]

Pozdrawiaml
PS. Dla \(\begin{cases}a= b\\m\in\rr_+\end{cases}\) mamy \(\alpha=45^\circ\), ale... wydaje mi się, że przy pewnych wartościach danych, np. dla \(\begin{cases}a\ne b\\m=1\end{cases}\) odpowiedzi nie znajdziemy!