Dwa pytania z geometrii

[Maciek32]

1. W prawidłowym ostrosupie czworokątnym odległości środka wysokości od krawędzi bocznej i ściany bocznej wynoszą odpowiednio \(a\) i \(b\). Oblicz objętość ostrosłupa i podaj warunek rozwiązalności zadania.

2. Długości boków czworokąta, w który można wpisać koło i na którym można opisać koło są równe \(a,b,c,d\). Udpwodnij, że pole \(S\) tego czworokąta wyraża się wzorem
\(S=\sqrt{abcd}\).
To jest rozwiązanie do 1.
1)
https://matematykaszkolna.pl/forum/369904.html
Skopiowane
2)
A tutaj udało mnie się udowodnić:
Skoro czworokąt jest wpisany w okrąg to użyję wzoru
\( S=\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}\)
gdzie p to połowa obwodu.
Skoro w czworokąt można wpisać okrąg to a+c=b+d więc0
\(p= \frac{ a+b+c+d}{2}=a+c=b+d \)
a wtedy
\( S=\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}= \sqrt {(a+c-a)(b+d-b)(a+c-c)(b+d-d)}= \sqrt{cdab}= \sqrt{abcd} \)
Moje pytanie brzmi czy istnieje jakieś błyskotliwsze i prostsze rozwiązanie z jakimś wyszukanym twierdzeniem które można zapisać w jednej linijce.

[brendainglis]

1. Wzór na objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędziach a i b oraz odległości środka wysokości od krawędzi bocznej i ściany bocznej wynoszących odpowiednio a i b jest:
V = (1/3) * a^2 * √(4b^2 - a^2)
Warunek rozwiązalności zadania wynika z założeń ostrosłupa, który musi być prawidłowy, czyli mający wszystkie krawędzie tej samej długości.

2. Udowodnienie wzoru na pole S czworokąta wpisanego w okrąg i opisanego na okręgu:
S = √(abcd)
W przypadku czworokąta wpisanego w okrąg, pole możemy wyrazić wzorem Herona:
S = √(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)

gdzie p jest połową obwodu czworokąta. Jednakże, ponieważ czworokąt jest zarówno wpisany w okrąg, jak i opisany na okręgu, to zachodzi równość a + c = b + d, co oznacza, że p = a + b = c + d.

Podstawiając to do wzoru Herona, otrzymujemy:
S = √(p - a)(p - b)(p - c)(p - d) = √(a + b - a)(a + b - b)(c + d - c)(c + d - d) = √(ab)(cd) = √(abcd)

Zatem pole S czworokąta wpisanego w okrąg i opisanego na okręgu można wyrazić wzorem S = √(abcd).

Nie ma konkretnego błyskotliwszego ani prostszego rozwiązania tego zadania, ponieważ dowód oparty na wzorze Herona jest standardowym podejściem do udowodnienia wzoru na pole czworokąta wpisanego w okrąg i opisanego na okręgu.