Okrąg wpisany w romb

[crybe]

W rombie ABCD, którego przekatne przecinaja sie w punkcie E, oznaczono odpowiednio przez R, r, s, t
promienie okregow wpisanych w romb ABCD, trojkat ABE, trójkat ABC i trójkat ABD. Wykaż, że \[ \frac{1}{R} = \frac{1}{t} + \frac{1}{s} - \frac{1}{r} \]
Dziękuje!

[Jerry]

No to rąbnijmy ten romb, wykorzystując jego własności i fakt:

\[S=pr\]
gdzie \(S\) jest polem wielokąta o obwodzie \(2p\), opisanego na okręgu o promieniu \(r\).

Niech \(|AB|=|BC|=|CD|=|DA|=a,\ |AC|=2p,\ |BD|=2q\). Wtedy

• \(S=S_{ABCD}={1\over2}\cdot4a\cdot R\iff {1\over R}={2a\over S}\\\)
• \(S=4\cdot S_{ABE}=4\cdot{1\over2}\cdot(p+q+a)\cdot r\iff{1\over r}={2p+2q+2a\over S}\\\)
• \(S=2\cdot S_{ABD}=2\cdot{1\over2}\cdot(2a+2q)\cdot t\iff {1\over t}={2a+2q\over S}\\\)
• \(S=2\cdot S_{ABC}=2\cdot{1\over2}\cdot(2a+2p)\cdot s\iff{1\over s}={2a+2p\over S}\)

Wynika z tego:
\[P_T={1\over t}+{1\over s}-{1\over r}={2a+2q\over S}+{2a+2p\over S}-{2p+2q+2a\over S}={2a\over S}={1\over R}=L_T\\\text{CKD}\]
Pozdrawiam

[clarenceswart]

W rombie ABCD, którego przekatne przecinaja sie w punkcie E, oznaczono odpowiednio przez R, r, s, t
promienie okregow wpisanych w romb ABCD, trojkat ABE, trójkat ABC i trójkat ABD. Wykaż, że \[ \frac{1}{R} = \frac{1}{t} + \frac{1}{s} - \frac{1}{r} \]
Dziękuje!

Rozważmy trójkąt ABE. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt oznaczmy przez r. Z własności okręgu wpisanego wiemy, że boki trójkąta ABE są styczne do tego okręgu. Oznaczmy punkty styczności na bokach AB, AE i BE przez F, G i H odpowiednio.

Teraz zauważmy, że romb ABCD jest równoległobokiem, więc przekątne BD i AC przecinają się w punkcie E. Oznaczmy przekątne BD i AC przez p i q odpowiednio.

Wiemy, że przekątne przecinają się w punkcie E, więc E jest punktem przecięcia okręgów wpisanych w trójkąty ABC i ABD. Oznaczmy promienie tych okręgów przez s i t odpowiednio.

Teraz z własności okręgu wpisanego w trójkąt ABC, wiemy, że boki trójkąta ABC są styczne do tego okręgu. Oznaczmy punkty styczności na bokach AB, BC i AC przez I, J i K odpowiednio.

Podobnie z własności okręgu wpisanego w trójkąt ABD, wiemy, że boki trójkąta ABD są styczne do tego okręgu. Oznaczmy punkty styczności na bokach AB, BD i AD przez L, M i N odpowiednio.

Mamy teraz następujące równości:
AF = AJ = r (styczność boków AB i okręgu wpisanego w trójkąt ABC)
BG = BH = s (styczność boków BE i okręgu wpisanego w trójkąt ABC)
CI = CK = t (styczność boków AC i okręgu wpisanego w trójkąt ABC)
DL = DM = t (styczność boków AB i okręgu wpisanego w trójkąt ABD)
EN = EM = s (styczność boków BE i okręgu wpisanego w trójkąt ABD)
FN = FL = r (styczność boków AB i okręgu wpisanego w trójkąt ABD)

Teraz zauważmy, że promień okręgu wpisanego w romb ABCD oznaczony jako R jest równy połowie przekątnej BD. Zatem R = p/2.

Podobnie, promień okręgu wpisanego w trójkąt ABE oznaczony jako r jest równy połowie przekątnej BE. Zatem r = s + r.

Teraz przyjrzyjmy się trójkątom ABE, ABC i ABD:
W trójkącie ABE, stosunek obwodu do promienia okręgu wpisanego wynosi 2π. Zatem obwód trójkąta ABE = 2πr = 2π(s + r).

W trójkącie ABC, stosunek obwodu do promienia okręgu wpisanego wynosi 2π. Zatem obwód trójkąta ABC = 2πs.

W trójkącie ABD, stosunek obwodu do promienia okręgu wpisanego wynosi 2π. Zatem obwód trójkąta ABD = 2πt.

Teraz możemy zapisać równość:
2π(s + r) = 2πs + 2πt

Upraszczając równanie, otrzymujemy:
2πr = 2πt + 2πs - 2πs

Podzielmy obie strony równania przez 2πr:
1/r = 1/t + 1/s - 1/r

To kończy dowód równości 1/R = 1/t + 1/s - 1/r