Drewniana listwe o dlugosci 1 m i szerokosci 4 cm nalezy pociac na takie cztery czesci aby po ich sklejeniu otrzymac rame(prostokat) .oblicz maksymalne pole powierzchni obrazu,ktory moze byc oprawiony w tak zbudowana rame.( odp 441)
prosze o pomoc;)
optymalizacja planimetria
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
radagast
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: optymalizacja planimetria
- ramka.png (3.26 KiB) Przejrzano 403 razy
\(P(x,y)=x*(y-8)\)
\(P(x)=x*(42-x)\) - parabola z gałązkami w dół. No to największa wartość jest " w połowie drogi miedzy pierwiastkami" czyli 21.
\(P_{max}= P(21)=21*21=441\)
Odp: listewkę należy pociąć na kawałki \(21,21,29,29 cm\) Pole obrazu jest wtedy największe i wynosi \(441 cm^2\)
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1551
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 409 razy
Re: optymalizacja planimetria
Oznaczenia:
\( x, \ \ y \ \ cm \) - wymiary obrazu.
Założenia:
\( x >0, \ \ y>0, \ \ 42 - x >0, \ \ x\in (0,\ \ 42) \ \ cm \)
Rozwiązanie
\( (x+8) \times (y+8) \ \ cm^2.\)- wymiary obrazu z ramką.
Długość listwy \( 2(x+8) + 2y = 100 \ \ cm.\)
Stąd
\( y = 50 - x -8 = 42 - x \ \ cm \)
\( max (P(x)) = max (x\cdot y) = max (x\cdot (42 - x)) = max ( -x^2 + 42x) \)
\( x_{max} = \frac{-42}{- 2\cdot 1} = \frac{42}{2} = 21\ \ cm.\)
\( y_{max} = 42 \ \ cm - 21 \ \ cm = 21 \ \ cm.\)
\( P_{max} = x_{max} \cdot y_{max} = 21\ \ cm \cdot 21 \ \ cm = 441 \ \ cm^2.\)
Odpowiedź:
Największe pole ma obraz w ramce kwadratowej o wymiarach \( 21 \ \ cm \times 21 \ \ cm \) i powierzchni \( 441 \ \ cm^2.\)
Wniosek
Z wszystkich prostokątów o danej długości boków - największą powierzchnię mają kwadraty.
\( x, \ \ y \ \ cm \) - wymiary obrazu.
Założenia:
\( x >0, \ \ y>0, \ \ 42 - x >0, \ \ x\in (0,\ \ 42) \ \ cm \)
Rozwiązanie
\( (x+8) \times (y+8) \ \ cm^2.\)- wymiary obrazu z ramką.
Długość listwy \( 2(x+8) + 2y = 100 \ \ cm.\)
Stąd
\( y = 50 - x -8 = 42 - x \ \ cm \)
\( max (P(x)) = max (x\cdot y) = max (x\cdot (42 - x)) = max ( -x^2 + 42x) \)
\( x_{max} = \frac{-42}{- 2\cdot 1} = \frac{42}{2} = 21\ \ cm.\)
\( y_{max} = 42 \ \ cm - 21 \ \ cm = 21 \ \ cm.\)
\( P_{max} = x_{max} \cdot y_{max} = 21\ \ cm \cdot 21 \ \ cm = 441 \ \ cm^2.\)
Odpowiedź:
Największe pole ma obraz w ramce kwadratowej o wymiarach \( 21 \ \ cm \times 21 \ \ cm \) i powierzchni \( 441 \ \ cm^2.\)
Wniosek
Z wszystkich prostokątów o danej długości boków - największą powierzchnię mają kwadraty.