Nierówność z logarytmami

[Maciek32]

Rozwiąż następującą nierówność:
\(\frac{2\log_a x}{1+2 \log_a x} < \log_2^2 x\)

[Jerry]

\(\frac{2\log_a x}{1+2 \log_a x} < \log_2^2 x\)

Jeśli treść jest oryginalna, to mało sympatyczna...
Wg mnie:
Dla dobrze określonych \(a,\ x\) oraz \(\begin{cases}\log_ax=t\\\log_a2=p\end{cases}\) dana nierówność jest równoważna
\[\frac{2t}{1+2t}<\left(\frac{t}{p}\right)^2\\
\frac{2p^2t}{1+2t}-\frac{t^2(1+2t)}{1+2t}<0\\
-t(2t^2+t-2p^2)(1+2t)<0\\
-4t\left(t-\frac{-1-\sqrt{1+16p^2}}{4}\right)\left(t-\frac{-1+\sqrt{1+16p^2}}{4}\right)\left(t+\frac{1}{2}\right)<0\]
Pozostaje określić porządek miejsc zerowych tego wielomianu, rozwiązać nierówność i wrócić do zmiennej \(x\) oraz parametru \(a\) rozpatrując przypadki...

Pozdrawiam

[Maciek32]

A przy założeniu, że
\(a \in (0,1) \cup (1,+\infty)\)
\(\lvert 2\log_a x \rvert < 1\)

[Jerry]

\(a \in (0,1) \cup (1,+\infty)\)

To właśnie dobrze określone \(a\).

\(\lvert 2\log_a x \rvert < 1\)

Stąd mamy dodatkowe: \(|t|<{1\over2}\), czyli m.in. ostatni czynnik w postaci iloczynowej wielomianu jest dodatni.

Pozdrawiam

[Maciek32]

A możesz pokazeć dalej co zrobić bo trochę to skomplikowane?

[Jerry]

... trochę to skomplikowane...

Od tego zacząłem swój post

\[-4t\left(t-\frac{-1-\sqrt{1+16p^2}}{4}\right)\left(t-\frac{-1+\sqrt{1+16p^2}}{4}\right)\left(t+\frac{1}{2}\right)<0\]

\[t_2=\frac{-1-\sqrt{1+16p^2}}{4}<t_4=-{1\over2}<t_1=0<t_3=\frac{-1+\sqrt{1+16p^2}}{4}\]
Zatem nierówność jest spełniona dla
\[t\in(-\infty;t_2)\cup(t_4;t_1)\cup(t_3;+\infty)\]
Aby dołożyć warunek \(|t|<{1\over2}\), trzeba ustalić porządek pomiędzy \(t_3\) i \({1\over2}\):

1. \[t_3\le{1\over2}\iff |p|\le{\sqrt2\over2}\iff a>1\]
   Wtedy
   \[|t|<{1\over2}\So t\in\left(-{1\over2};0\right)\cup\left(\frac{-1+\sqrt{1+16\log_a^22}}{4};{1\over2}\right)\\
   \log_aa^{-{1\over2}}<\log_ax<\log_a1\vee\log_aa^{\frac{-1+\sqrt{1+16\log_a^22}}{4}}<\log_ax<\log_aa^{{1\over2}}\\
   a^{-{1\over2}}<x<1\vee a^{\frac{-1+\sqrt{1+16\log_a^22}}{4}}<x<a^{{1\over2}}\]
2. \[t_3>{1\over2}\iff |p|>{\sqrt2\over2}\iff0< a<1\]
   Wtedy
   \[|t|<{1\over2}\So t\in\left(-{1\over2};0\right)\\
   \log_aa^{-{1\over2}}<\log_ax<\log_a1\\
   a^{-{1\over2}}>x>1\]

Pozdrawiam
PS. Wypadałoby jeszcze uporządkować liczbę \[a^{\frac{-1+\sqrt{1+16\log_a^22}}{4}}\] ale brakuje mi już samozaparcia

Rachunki sprawdź

[edited] na konkurencyjnym forum znalazłem Twoje odpowiedzi do tego zadania i... nie ma w nich przedziału \(\left(a^{\frac{-1+\sqrt{1+16\log_a^22}}{4}};a^{{1\over2}}\right)\) dla \(a>1\)... Przeanalizuj, proszę, moje rozwiązanie - zwłaszcza te fragmenty, które pominąłem w redakcji! Mnie odeszła ochota

[Maciek32]

Jeśli miałbyś ochotę Jerry to bardzo proszę o przeanalizowanie, ale jeśli nie to i tak wielkie dzięki;)

[janusz55]

W treści zadania należało uwzględnić warunki:

\( a\in (0,1) \) lub \( a\in(1, \infty) \)
i
\( |2\log_{a}(x)|< 1.\)

[Maciek32]

Ale jeszcze pytanie do Jerrego. Jakie fragmenty pominąłeś w redakcji?

[Jerry]

Jakie fragmenty pominąłeś w redakcji?

M.in.:

1. \[t_3\le{1\over2}\iff |p|\le{\sqrt2\over2}\iff a>1\]

Pozdrawiam

[Maciek32]

Przecież napisałeś to. Więc nie rozumiem dalej co pominąłeś.

[Jerry]

... nie rozumiem dalej co pominąłeś.

Rachunki

Pozdrawiam

[Maciek32]

A możesz Jerry zrobić jak powinno być bo ja trochę nie wiem co tutaj podziałać

[Jerry]

A możesz Jerry zrobić jak powinno być bo ja trochę nie wiem co tutaj podziałać

Przepraszam

... brakuje mi już samozaparcia

Pozdrawiam