Równanie Bernoulliego

[Sway22]

\(t(x' + x^2) = x\)

[janusz55]

\( t(x' +x^2) =x, \ \ t, x \in \rr \)

\( x' + x^2 = \frac{x}{t} \)

\( x' = \frac{x}{t} - x^2 \)

\( \frac{x}{t} = u, \ \ x = tu, \ \ x' = u + tu' \)

\( u + tu' = u - t^2u^2 \)

\( tu' = -t^2u^2 \)

\( u' = -tu^2 \)

\( \int \frac{du}{u^2} = -\int tdt \)

Proszę obliczyć całki, wyznaczyć funkcję \( u \) i z podstawienia funkcję \( x.\)

[Sway22]

A przy Bernoulliego nie dzieli się przez x w największej potędze i podstawia \( z = x^{1-n} \)? (chyba, że da się tu innym sposobem, którym ty robisz) ale próbowałam tak jak napisałam i wychodzą mi 2 różne wyniki, z czego nie wiem czy nawet jeden z nich jest dobry, więc jakby ktoś mógł zrobić tym sposobem, żebym sobie sprawdziła?

[janusz55]

Proszę podać swoje rozwiązania. Sprawdzimy, który wynik jest prawidłowy.

[Sway22]

Najpierw mi wyszło:
\( \frac{2}{e^{-2}t^2C + 1} \)

A potem:
\( \frac{1}{-Ct + 2t ln|t|} \)

[janusz55]

\( t(x' +x^2) = x, \ \ t, x \neq 0 \)

\( t\frac{dx}{dt} +tx^2 = x \ \ |\cdot \frac{1}{x^2} \)

\( t\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dt} + t = \frac{1}{x} \)

Podstawiamy:

\( z = \frac{1}{x}, \ \ -\frac{1}{x^2}\frac{dx}{dt} = \frac{dz}{dt}.\)

\( -t \frac{dz}{dt} +t = z| \cdot \left(-\frac{1}{t}\right) \)

\( z' -1 = -\frac{z}{t} \)

\( z' +\frac{z}{t} = 1 \ \ (*)\)

Rozwiązujemy równanie jednorodne:

\( z' +\frac{z}{t} = 0 \)

\(\int \frac{dz}{z} = -\int \frac{dt}{t} \)

\( \ln|z| = \ln |\frac{C}{t}| \)

\( z = \pm \frac{C}{t}\)

Uzmienniamy stałą \( C \)

\( \frac{C}{t} >0\)

\( z(t) = \frac{C(t)}{t} \ \ (**)\)

\( z'(t) = \frac{C'(t)}{t} + C(t)\cdot \left(-\frac{1}{t^2}\right) (***)\)

Podstawiamy \( (**), (***)\) do równania \( (*)\)

\( \frac{C'(t)}{t} + C(t)\cdot \left(-\frac{1}{t^2}\right) +\frac{C(t)}{t^2} = 1\)

\( \frac{C'(t)}{t} = 1, \ \ C'(t) = t , \ \ C(t) = \frac{1}{2}t^2 + A, \ \ A -\) stała.

\( z(t) = \frac{1}{2} t + \frac{A}{t} \)

\( x(t) = \frac{2t}{t^2 +2A} = \frac{2t}{t^2 +B}, \ \ B = 2A. \)

[Sway22]

\(
t(x' + x^2) = x \\
x' + x^2 = \frac{x}{t} \\
x' - \frac{x}{t} + x^2 = 0 /:x^2 \\
\frac{dx}{dt} * \frac{1}{x^2} - \frac{1}{t} * \frac{1}{x} + 1 = 0
\\
\)
Podstawiam:
\(
z = x^{-1} = \frac{1}{x}, \frac{dx}{dt} * \frac{1}{x^2} = - \frac{dz}{dt} \\

-\frac{dz}{dt} - \frac{1}{t} * z + 1 = 0 \\
z' = -\frac{z}{t} + 1
\\
\)
Rozwiązuje równanie:
\(
z' = -\frac{z}{t} \\
\int \frac{1}{z}dz = -\int \frac{1}{t}dt \\
ln|z| = -ln|t|+ C /e^{()} \\
|z| = -|t|e^C \\
z=-tC
\\
\)
Uzmienniam stałą C:
\(
z_1 = -tC(t) \\
z'_1 = c(t) - tC'(t) \\

C(t) - tC'(t) = \frac{tC(t)}{t} + 1 \\
C'(t) = -\frac{1}{t} \\
C(t) = -\int \frac{1}{t} dt = -ln|t| \\

z_1 = -t(-ln|t|) = t ln|t| \\

z = -tC + t ln|t|
\\
\)
Czyli:
\(
\frac{1}{x} = -tC + t ln|t| \\
x = \frac{1}{-tC + t ln|t|}
\)


Co robię źle?

[janusz55]

Przy dzieleniu obustronnym równania przez \( x^2 \) powinno wystąpić \( 1 \) nie \( x^2.\)

[Sway22]

w którym miejscu?

[janusz55]

Jest 1 w czwartym wierszu.

\( -\int \frac{1}{t} dt = -\ln(t) = \ln(t^{-1})= \ln(\frac{1}{t}). \)

Można też przyjąć Pani rozwiązanie. \( e^{C} \) oznaczamy inną literą na przykład \( A.\)